Fourierkoeffizienten

11.01.2012, 08:51

Slaxx

Fourierkoeffizienten

Hallo zusammen
Bei meiner Frage geht es um eine kleine Multiple-Choice Aufgabe die folgendermassen aussieht:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ->\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine glatte Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(x+\pi)=-f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Dann gilt:
a) Die Funktion f ist $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch
b) Die Funktion f ist gerade
Es sei f wie oben festgelegt und f(x) die zugehörige Fourierreihe ( $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ vor cos(nx) und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ vor sin(nx))
c) Die Fourierkoeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ verschwinden für alle n
d) Es gilt $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ =0 für alle geraden Zahlen $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

a)-c) konnte ich ohne Probleme beantworten, denn die Funktion kann sowohl gerade als auch ungerade sein. Aber warum ist d wahr? Gibt es da irgendeine allgemein gültige Regel, um zu wissen, dass alle geraden Koeffizienten =0 sind?

Vielen Dank für eure Hilfe

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