Irreduzibilität von Polynom

11.01.2012, 10:10

TUW

Irreduzibilität von Polynom

Meine Frage:
Hallo ich habe ein kleines Problem mit diesem Bsp:

Man untersuche das Polynom x² + 3 auf Irreduzibilität a) über Q, b) über Z5.

Meine Ideen:
als mein ansatz über Q war mal derjenige:

a) die Nullstelle ist die $\begin{eqnarray*} \sqrt{-3} \end{eqnarray*}$ ---> daraus folgt es ist nicht in Q und somit folgt es ist irreduzibel? geht das soe einfach oder ist das falsch?

b) Ansatz

x² + 3 = 0 (mod 5)

auch daraus folgt irreduzibel da durch einsetzen von 0-5 man nicht auf die lösung 0 kommt.

Ist das so richtig wie ich das gemacht habe?

11.01.2012, 14:18

Nubler

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der ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt{-3} \end{eqnarray*}$ is traurig

, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ is nicht definiert

wenn du nun begründest, warum genau daraus die irreduzibilität folgt, dann ja.

denn es könnt ja auch wie $\begin{eqnarray*} x^4+2x^2+1 \end{eqnarray*}$ sein, dass keine reelle nullstelle besitzt, aber dennoch reduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist.

zur b: siehe a) und zusätzlich: warum reicht es, die zahlen 0-4 einzusetzen?

11.01.2012, 15:27

TUW

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naja liegt es nicht daran, dass man x² + 3 nicht mehr aufteilen kann in 2 ausdrücke? bei x^4 2 2x² + 1 kann man ja aufteilen in 2 Ausdrücke, oder? bei meinem ausdruck geht dass allerdings nicht?

da liegt bei mir auch der hund begraben ich weis nicht wie ich dass sonst noch beweisen soll? Wie kann ich beweisen, dass es keine Nullstellen gibt?

b) .. naja modulo 5 ist ja nur sinnvoll bei den ersten 5 werten oder .. bei mod 6 beginnt es ja eigentlich wieder von vorne?

Dass mit mod 5 haben wir so in der Ü-Stunde gemacht .. also wenn dort stand Z7 haben wir es bis mod 7 gemacht .. daher mein ansatz

EDIT: kann x² + 3 überhaupt eine Nullstelle haben? denn wenn man es aufzeichnet ist es ja sowieso immer über der x- Achse egal bei welcher Wertebelegung?

11.01.2012, 16:02

Nubler

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Zitat:

Original von TUW
naja liegt es nicht daran, dass man x² + 3 nicht mehr aufteilen kann in 2 ausdrücke?

das ist gerade das, was du zeigen sollst

Nehmen wir an, $\begin{eqnarray*} x^2+3 \end{eqnarray*}$ wäre über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ reduzibel, dann könntest du es in der form $\begin{eqnarray*} x^2+3\stackrel{!}{=}(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 \end{eqnarray*}$ mit zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ schreiben.

der dritte term is der zweite term nur ausmultipliziert. da dieser mit den ersten übereinstimmen soll, müssen die koeffizienten übereinstimmen. das liefert 2 bedingungen, die da wären?

modulo p bedeutet vereinfacht dargestellt, dass du durch p mit rest teilst und dann nur noch den rest betrachtest.

damit ist zum beispiel

-2 mod 5=8 mod 5 =2
und entsprechend 5 mod 5=0

edit: -2 mod 5=8 mod 5 =3 und nicht 2 Hammer

11.01.2012, 16:13

TUW

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Zitat:

das liefert 2 bedingungen, die da wären?

tut mir leid aber da kann ich dir jetzt nicht ganz folgen, welche bedingungen meinst du?

ja ich weis dass ich es dann in dieser Form schreiben könnte, aber ich weis eben nicht wie ich das beweisen soll das es irreduzibel ist, denn meiner meinung nach ist es irreduzibel ..

11.01.2012, 16:24

Nubler

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$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} x^2&+0x &+3\\x^2&-(x_1+x_2)x & +x_1x_2\end{matrix} \end{eqnarray*}$

oberes und unteres müssen gleich sein
somit gilt:
$\begin{eqnarray*} x_1+x_2=? \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x_1x_2=? \end{eqnarray*}$

11.01.2012, 16:30

TUW

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x1 + x2 = - ( 0 + 0 ) * -0
x1*x2 = (3*1)

?

11.01.2012, 16:53

Nubler

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ja
damit wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} x_1=-x_2 \end{eqnarray*}$ ist.

entsprechend muss ein koeffizient auch die gleichung $\begin{eqnarray*} x_1^2=-3 \end{eqnarray*}$ erfüllen (einfach ineinander eingesetzt).
bis hier haben wir noch nicht explizit gebraucht, dass $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ rational sind, entsprechend sind die überlegungen analog für $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_5 \end{eqnarray*}$

gehen wir zuerst mal von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_5 \end{eqnarray*}$ aus:

dort ist dann $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ eine zahl, für die gilt $\begin{eqnarray*} x_1^2=2 \end{eqnarray*}$
gibt es eine solche zahl in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_5 \end{eqnarray*}$ ?

11.01.2012, 20:05

TUW

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aaah, jetzt hab ich den geistigen durchbruch auch erzielt! Hammer

echt vielen dank für deine hilfestellungen, das hat mich echt ein stückchen weiter gebracht! Freude

08.01.2014, 20:52

skruffes

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Hallo, kann mir bitte jemand b.) erklären?

Dachte auch man muss nur 0-5 einsetzen und das reicht ?!

Bei a.) bin ich doch schon fertig wenn ich sehe, dass es einen Wiederspruch gibt wenn ich annehme das x^2+3 reduzibel ist.

(x1+x2) = 0 und x1x2 = 3

bitte helft mir, danke smile