Beweis-Ideen für Flächeninhalt eines n-Eckes

11.01.2012, 14:14

naloxx

Beweis-Ideen für Flächeninhalt eines n-Eckes

Meine Frage:
Für eine Übungsaufgabe in der Uni muss ich zeigen, dass der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen n-Eckes kleiner ist als der eines (n+1)-Eckes für n >= 3.
Ich habe schon gezeigt, wie sich der Flächeninhalt berechnet, was mir jetzt nur noch fehlt ist der Beweis für die Ungleichung, die am Ende gezeigt werden soll.
Das ist der aktuelle Stand:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \sin(\frac{2\pi }{n} ) \leq \frac{n+1}{2} \sin(\frac{2\pi }{n+1} ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee ist, die Ungleichung über Induktion zu beweisen, jedoch sehe ich dabei das Problem der Periodizität des Sinus, sodass keine Aussage über n+1 wirklich allgemein getroffen werden kann. Zulässig sind hier so ziemlich alle Beweismethoden.
Mein ganz konkretes Problem ist jetzt also, dass ich nicht wie genau ich die Ungleichung beweise.

11.01.2012, 15:24

René Gruber

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Prinzipiell geht es um den Nachweis davon, dass $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend ist.

Zitat:

Original von naloxx
jedoch sehe ich dabei das Problem der Periodizität des Sinus

Das hat nun wirklich nichts damit zu tun: Hier geht es eigentlich nur um Sinuswerte in der Umgebung der Null, nicht für größere Werte oder gar Periodizität. unglücklich

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