Wahrscheinlichkeit Felder

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11.01.2012, 15:25	omar	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit Felder Hallihallo Ich habe folgende Fragestellung: Ich habe eine Platte mit 10*13 Feldern, die entweder weiss oder schwarz sein können. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, wenn die symmetrischen Varianten abgezogen werden? Schwierig (für mich) ist v.a. die Spiegelung der mittleren (7.) Reihe der 13 er Seite.. Viel Spass und danke!
11.01.2012, 15:44	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Präzisiere das bitte: Wann bezeichnest du zwei Varianten als symmetrisch zueinander? Wenn sie durch Drehung ineinander übergehen? Durch Spiegelung? Durch beides?
11.01.2012, 15:50	omar	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur Drehung um den Mittelpunkt der Platte, die Platte soll auf einem Tisch liegen bleiben. Präzise genug? 2 hoch (1013) = Möglichkeiten gesamthaft durch 2 teilen (Spiegelung Achse 5./6. Reihe der 10er Seite) dann minus (2 hoch (610)) mal wieviel? (10 hoch 2 minus wie viele symmetrische?) soweit bin ich mal... achach..
11.01.2012, 15:59	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es nur um diese 180Grad-Drehung geht, dann muss man exakt nur diejenigen Färbungen ermitteln, die bei so einer Drehung in sich selbst übergehen: Das sind genau $\begin{eqnarray} 2^{65} \end{eqnarray}$ , denn man kann eine "Hälfte" 5x13 beliebig färben, die andere Hälfte ergibt sich dann zwangsläufig durch diese Drehungsbedingungen. Macht summa summarum $\begin{eqnarray} \frac{2^{130}+2^{65}}{2} = 2^{129}+2^{64} \end{eqnarray}$ Färbungen. Wenn du dagegen Spiegelungen auch noch zulässt (deine Ausführungen lassen das vermuten), dann sieht es natürlich anders aus...
11.01.2012, 16:32	omar	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, toll, da war ich ja mal wieder auf den Holzweg... Gruss und Dank!
11.01.2012, 16:41	omar	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würde es aussehen, wenn die Unterseite auch nach oben darf? Kannst du mir da auch helfen?
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11.01.2012, 16:56	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Da muss ich zunächst mal fragen: Handelt es sich hier um eine Wettbewerbsaufgabe? Scheint mir doch stark über Schulniveau zu liegen.
11.01.2012, 17:04	omar	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, keine Wettbewerbsfrage, konkrete Fragestellung aus der Praxis! Es geht um ein Küchenbrett, welches selbst gestaltet werden kann, schreib doch die Lösung gleich in den Blog rein (und schreib ein Gruss von mir..., mein Name ist Urs) siehe da: bitboard.ch Ich bleib aber auch hier Beobachter...mein Ehrgeiz ist zu gross! Gruss!
11.01.2012, 17:26	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Na wenn's so ist - ich bin hier nur schon mehrmals in der Hinsicht "abgezockt" worden, so dass ich jetzt etwas vorsichtiger geworden bin, auch wenn es manchmal paranoid klingen mag. Zurück zur Symmetrie mit Spiegelungen: Na da gibt es einmal die Spiegelung 5./6.Reihe, wie du es nennst: Da kann man ebenfalls wieder die eine Hälfte 5x13 beliebig färben, und der Rest ergibt sich daraus. Macht also wieder $\begin{eqnarray} 2^{65} \end{eqnarray}$ bzgl. dieser Spiegelung invariante Färbungen. Und dann gibt es da noch die Spiegelung an der Mitte der 7.Spalte: Hier kann man die Spalten 1 bis 7 der 13 Spalten beliebig färben, die Spalten 8 bis 13 ergeben sich im Invarianzfall aus den Färbungen der Spalten 1 bis 6, während die 7.Spalte ja in sich selbst übergeht. Hier gibt es also $\begin{eqnarray} 2^{70} \end{eqnarray}$ invariante Färbungen. Summa summarum gibt es nach Burnside-Lemma dann genau $\begin{eqnarray} \frac{2^{130}+2^{70}+2^{65}+2^{65}}{4} = 2^{128}+2^{68}+2^{64} \end{eqnarray}$ bzgl. Drehung und Spiegelung invariante Färbungen. Genug Varianten, damit jeder Erdenbürger sein individuelles Brett haben kann.
11.01.2012, 17:32	omar	Auf diesen Beitrag antworten »
Gar nicht paraoid, ich will mich nicht mit fremden Loorbeeren schmücken... Du hast's echt drauf! Grooosses Kompliment! Danke und liebe Grüsse aus Zürich, Urs

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