Determinante eines Endomorphismus

11.01.2012, 16:32

prechti1993

Determinante eines Endomorphismus

Folgende Aufgabe: (ihr müsst euch bei jeden |R noch ein 2x2 im Exponenten denken, wusste nicht wie man das schreibt bin aber offen für Berichtigung^^

Es sei $\begin{eqnarray*} M \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine feste Matrix.
Wir betrachten die Abbildung

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} -> \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ; X -> M*

Es gilt: $\begin{eqnarray*} f \in End(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$

Zeigen sie: $\begin{eqnarray*} det(f) = det(M)^{2} \end{eqnarray*}$

Also meine Idee dazu wäre, ersteinmal eine solche Matrix M allgemein darzustellen...

M sollte ja allgeimein $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \\ b_1 & b_2 & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so aussehen, wobei die einträge halt aus R kommen sollten. Jetzt kann man schonmal det(M)² berechnen.

Weiter kann ich jetzt ja eine Standardbasis des R^{2x2} nehmen, f dann darin darstellen und dann die det(f) berechnen... ???

11.01.2012, 19:18

Leopold

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Das schreibt man zum Beispiel so:

$\begin{eqnarray*} f: \ \mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$

Das Problem ist nur: Was soll $\begin{eqnarray*} X \mapsto M^{*} \end{eqnarray*}$ bedeuten? Auf der rechten Seite kommt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gar nicht vor, damit ist diese Abbildung konstant. Aber das ist sicher nicht gemeint. Und vor allem: Was sagt uns der Stern? Handelt es sich um die tansponierte Matrix? Um die Adjunkte? Oder sonst etwas?

12.01.2012, 10:54

Prechti1993

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Sorry!!

Zitat:

Original von Leopold
Das schreibt man zum Beispiel so:

$\begin{eqnarray*} f: \ \mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$

Das Problem ist nur: Was soll $\begin{eqnarray*} X \mapsto M^{*} \end{eqnarray*}$ bedeuten? Auf der rechten Seite kommt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gar nicht vor, damit ist diese Abbildung konstant. Aber das ist sicher nicht gemeint. Und vor allem: Was sagt uns der Stern? Handelt es sich um die tansponierte Matrix? Um die Adjunkte? Oder sonst etwas?

Es handelt sich um eine Abbildung :

$\begin{eqnarray*} X \mapsto M\cdot X \end{eqnarray*}$

Tut mir Leid!

12.01.2012, 11:30

Leopold

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Du kannst $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ mittels $\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mapsto \tilde{X} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ identifizieren (Isomorphie der Vektorräume).
Jetzt sei $\begin{eqnarray*} E_{ij} \end{eqnarray*}$ die Matrix mit einer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ an der Position $\begin{eqnarray*} (i,j) \end{eqnarray*}$ und Nullen sonst. Die Matrizen $\begin{eqnarray*} E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} \end{eqnarray*}$ bilden eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ . Entsprechend sind die Spalten $\begin{eqnarray*} \tilde{E}_{11},\tilde{E}_{12}, \tilde{E}_{21}, \tilde{E}_{22} \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ .

Und dann hast du ganz richtig angefangen: Du berechnest $\begin{eqnarray*} f \left( E_{ij} \right) = ME_{ij} \end{eqnarray*}$ für jede Basismatrix $\begin{eqnarray*} E_{ij} \end{eqnarray*}$ . Dann tust du so, also würde $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ operieren (konsequenterweise heißt das dann $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ ) und übersetzt das in eine Gleichung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \tilde{f} \left( \tilde{E}_{ij} \right) = \ldots \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis rechts drückst du bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \tilde{E}_{11},\tilde{E}_{12}, \tilde{E}_{21}, \tilde{E}_{22} \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ aus.

Und dann weißt du ja sicher, wie man, wenn eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ gegeben ist, die Darstellungsmatrix der Abbildung $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ bekommt. Das ist natürlich dann eine 4×4-Matrix. Die Matrix hängt davon ab, welche Reihenfolge der Basisvektoren man festlegt, nicht jedoch ihre Determinante. Welche Reihenfolge der Basisvektoren ist geschickt, um eine für die spätere Determinantenberechnung möglichst günstige Matrix zu erhalten?

13.01.2012, 13:53

Prechti1992

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$\begin{eqnarray*} f \left( E_{ij} \right) = ME_{ij} \end{eqnarray*}$ hierfür kommt dann quasi raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 & \\ c & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & a & \\ 0 & c \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} b & 0 & \\ d & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & b & \\ 0 & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ...

Für die entsprechende Abbildung im $\begin{eqnarray*} R^{4} \end{eqnarray*}$ kommt dann raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und diese vektoren soll ich jetzt in eine matrix schreiben und dann deren determinante berechnen? (Wäre gut wenn ich sie einfach so reinschreibe, dann kann ich ja einfach die Diagonalelemente multiplizieren)

13.01.2012, 16:35

Leopold

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Nein, nicht ganz. Die Abbildung, die ich mit einer Schlange gekennzeichnet habe, blättert eine Matrix zu einem Spaltenvektor auf (siehe $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{X} \end{eqnarray*}$ ). Und so gilt denn

$\begin{eqnarray*} \tilde{E}_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \tilde{E}_{12} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \tilde{E}_{21} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \tilde{E}_{22} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das mußt du aber auch mit den Ergebnismatrizen machen:

$\begin{eqnarray*} \tilde{f}(\tilde{E}_{11}) = \tilde{\begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ c \\ 0 \end{pmatrix} \, , \ \ \tilde{f}(\tilde{E}_{12}) = \tilde{\begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & c \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 0 \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und entsprechend mit den beiden andern.

Jetzt kannst du die Ergebnisse als Linearkombinationen bezüglich der Basis schreiben, das erste zum Beispiel so:

$\begin{eqnarray*} \tilde{f}(\tilde{E}_{11}) = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ c \\ 0 \end{pmatrix} = a \cdot \tilde{E}_{11} + c \cdot \tilde{E}_{21} \end{eqnarray*}$

Und genau so mit den andern dreien. Wenn man aber eine Basis $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ hat und deren Bilder unter einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wieder als Linearkombination dieser Basis schreibt, z.B.

$\begin{eqnarray*} \varphi(B) = \alpha A + \beta B + \gamma C + \delta D \end{eqnarray*}$

so kann man daraus die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gewinnen. Da wir hier den zweiten Basisvektor abgebildet haben, tragen wir die Koeffizienten in der zweiten Spalte ein:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \ldots & \alpha & \ldots & \ldots \\ \ldots & \beta & \ldots & \ldots \\ \ldots & \gamma & \ldots & \ldots \\ \ldots & \delta & \ldots & \ldots \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nehmen wir dieselben Basiselemente in einer anderen Reihenfolge, etwa $\begin{eqnarray*} C,A,B,D \end{eqnarray*}$ . Jetzt ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ der dritte Vektor, also kommen die Koeffizienten in die dritte Spalte. Wegen $\begin{eqnarray*} \varphi(B) = \gamma C + \alpha A + \beta B + \delta D \end{eqnarray*}$ (auch hier die Reihenfolge einhalten) sieht die Darstellungsmatrix jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \ldots & \ldots & \gamma & \ldots \\ \ldots & \ldots & \alpha & \ldots \\ \ldots & \ldots & \beta & \ldots \\ \ldots & \ldots & \delta & \ldots \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die ganze Geschichte mit dem Auffalten der Matrix zu einem Spaltenvektor ist übrigens überflüssig. Ich dachte, ich könnte dir die Vorstellung damit erleichtern. Wenn ich dir die Sache damit aber eher erschwert habe, dann vergiß das wieder und arbeite im Matrizenraum direkt mit der Basis $\begin{eqnarray*} E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} \end{eqnarray*}$ .

14.01.2012, 12:40

Prechti1992

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=)
Doch das hat mir sehr geholfen mit dem aufspalten!

Ich bedanke mich für die schnelle und vor allem kompetente Hilfe!!!!

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