Bild und Faser einer Matrix

11.01.2012, 17:28

Snuze

Bild und Faser einer Matrix

Hallo zusammen,

folgende Aufgabenstellung bereitet mir Kopfzerbrechen:

Gegeben ist eine Matrix A mit:

$\begin{eqnarray*} A:= \begin{pmatrix} a^2 & ab \\ ab & b^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie die Faser über dem Punkt (a,b). Finden Sie eine geometrische Beschreibung des Bildes.

b) Wie muss die Matrix geändert werden, dass f((a,b)) = (a,b) gilt und damit (a,b) ein Fixpunkt wird, ohne durch diese Änderung das Bild oder den Kern zu verändern.

Zu a) habe ich folgendes:

Zuerst soll die Faser von A bestimmt werden.\\

$\begin{eqnarray*} $Ax = (a,b)$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $\begin{pmatrix} a^2 & ab & a\\ ab & b^2 & b \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} a^2 & ab & a\\ 0 & 0 & ab \end{pmatrix}$ \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} $b=0 \wedge a = 0$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $f^{-1}((a,b)) = \mathbb R^2$ \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} $a=0, b\neq 0$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $f^{-1}((a,b)) = \mathbb R^2$ \end{eqnarray*}$

Fall 3: $\begin{eqnarray*} $a\neq 0, b= 0$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $f^{-1}((a,b)) = \{(x,y) \in \mathbb R^2: x = \frac{1}{a} \}$ \end{eqnarray*}$

Nun soll eine geometrische Beschreibung des Bildes gefunden werden. Zuerst soll das Bild bestimmt werden.

$\begin{eqnarray*} $A^T = \begin{pmatrix} ab & b^2 \\ a^2 & ab \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} ab & b^2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ \end{eqnarray*}$

Daher sind die beiden Spaltenvektoren l.a. und $\begin{eqnarray*} $im(f) = span((ab,b^2))$ \end{eqnarray*}$ .

Nun weiß ich aber nicht wie ich das geometrisch deuten soll.

Zu b) Habe ich gar keine Ahnung.

11.01.2012, 18:18

Elvis

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zu a) Die Faser eines Punktes (a,b) ist das Urbild des Punktes (a,b) - oder nicht ?
Wenn das so ist, sollst du die Menge aller Punkte (x,y) bestimmen, für die gilt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a^2 & ab \\ ab & b^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Fall 2 ist falsch. Viel schlimmer ist, dass deine Fallunterscheidung nicht vollständig ist.
Ich verstehe deine Schreibweise nicht, was sollen die Pfeile bedeuten ?
zu b) "Das ist eine andere Geschichte, und die soll ein andermal erzählt werden."

11.01.2012, 18:43

Snuze

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Zitat:

Die Faser eines Punktes (a,b) ist das Urbild des Punktes (a,b) - oder nicht ?

Zitat:

Ich verstehe deine Schreibweise nicht, was sollen die Pfeile bedeuten ?

Die Pfeile zeigen an dass eine elementare Zeilenumformung gemacht worden ist.

Zu Fall 2: Ups ich sehe es selbst, $\begin{eqnarray*} f^{-1}((a,b)) = (\mathbb R, \frac{1}{b}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a = 0, b \neq 0 \end{eqnarray*}$

Achso und den Fall $\begin{eqnarray*} a \neq 0, b \neq 0 \end{eqnarray*}$ habe ich weggelassen, da die Gleichung dann nicht lösbar ist, da $\begin{eqnarray*} 0 = ab \end{eqnarray*}$ dann keine Lösung besitzen würde.

12.01.2012, 18:25

Elvis

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Fall 2 ist jetzt richtig. Ich hätte gleich mit dem allgemeinen Fall angefangen, ohne Fallunterscheidung, denn das ist einfacher. Fälle unterscheiden kann man später noch, wenn es sein muss.

Mein Vorschlag: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^2 & ab \\ ab & b^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^2x+aby \\ abx+b^2y \end{pmatrix}=(ax+by)\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\Leftrightarrow ax+by=1 \end{eqnarray*}$

Zugegeben, dein Fall 1 ist da nicht drin, sonst aber hat das einiges zu bieten, nicht wahr. Augenzwinkern

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