Unbestimmte Integrale bestimmen

11.01.2012, 18:25	maggi91	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimmte Integrale bestimmen Meine Frage: Hi zusammen! Sitze schon den ganzen nachmittag vor den Aufgaben über unbestimmte Integrale. Alles in allem bin ich nur mäßig vorangekommen, aber vor allem bereitet mir die folgende Aufgabe Probleme: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{t^3}{\sqrt{t²+1} } \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: habe mit der substitution folgendermaßen angefangen: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{t^3}{\sqrt{t²+1} } \, dx = \int \! (t²+1)^{-1/2}2t1/2 t^2 \, dx \end{eqnarray}$ anfangs war ich noch optimistisch, aber das $\begin{eqnarray} 1/2 t^2 \end{eqnarray*}$ bringt mich immer wieder raus! habe schon den wolfram mathematica integrator drauf losgelassen, aber ich würd gern selber auch draufkommen, was bis jetzt nicht der fall ist :/ hilfe wäre sehr schön, lg magdalena
11.01.2012, 18:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann so etwas verschieden lösen. Ich mache dir einmal den Vorschlag, den Ansatz $\begin{eqnarray} F(t) = p(t) \cdot \sqrt{t^2+1} \ \ \text{mit einem Polynom} \ \ p(t) \end{eqnarray}$ für eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(t) = \frac{t^3}{\sqrt{1+t^2}} \end{eqnarray}$ zu probieren. Durch Ableiten (bitte nachrechnen) bekommt man nämlich $\begin{eqnarray} F'(t) = \frac{t \cdot p(t) + \left( t^2 + 1 \right) \cdot p'(t)}{\sqrt{t^2 + 1}} \end{eqnarray}$ Wenn nun $\begin{eqnarray} p(t) \end{eqnarray}$ den Grad $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ als Leitkoeffizienten hat, dann hat (überprüfe das) der Zähler des Bruches den Grad $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (n+1)a \end{eqnarray}$ als Leitkoeffizienten. Wenn es also überhaupt mit einem solchen Ansatz funktioniert, welchen Grad muß dann $\begin{eqnarray} p(t) \end{eqnarray}$ besitzen? Und was muß der Leitkoeffizient sein?

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