Beweis: i.A. gibt es keine rationale Zahl deren Quadrat ein Bruch ist ...

11.01.2012, 19:08

Christian_P

Beweis: i.A. gibt es keine rationale Zahl deren Quadrat ein Bruch ist ...

Es gibt keine rationale Zahl deren Quadrat $\begin{eqnarray*} \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ ist, worin $\begin{eqnarray*} \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ irgendwein positiver Bruch ist, der nicht weiter vereinfacht werden kann, außer $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sind Quadratzahlen.

angenommen es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{p^2}{q^2}=\frac{m}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ hat keinen Faktor mit $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ gemeinsam und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ hat keinen Faktor mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gemeinsam.

dann gilt $\begin{eqnarray*} np^2=mq^2 \end{eqnarray*}$

jeder Faktor von $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} np^2 \end{eqnarray*}$ teilen, da aber $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ keinen Faktor gemeinsam haben, muss jeder Faktor von $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sein.

deshalb $\begin{eqnarray*} n=\lambda q^2 \end{eqnarray*}$ , worin $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ganzzahlig sein muss

aber dies fordert auch $\begin{eqnarray*} m=\lambda p^2 \end{eqnarray*}$

da aber $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ keinen gemeinsamen Faktor haben, muss $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ sein

folglich ist $\begin{eqnarray*} m=p^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=q^2 \end{eqnarray*}$

w.z.b.w.

Ist der Beweis so richtig?

11.01.2012, 19:23

DP1996

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Ich denke, dein Beweis stimmt so. Wobei du natürlich damit noch allgemeiner gezeigt hast, dass aus
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} a=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=d \end{eqnarray*}$ ist, wenn die beiden Brüche vollständig gekürzt sind (und die Variablen ganzzahlig und ungleich 0).

11.01.2012, 19:54

Christian_P

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Hi

Danke für deine Antwort!

Das $\begin{eqnarray*} p,q,m,n \in \mathbb{Z} \wedge\frac{m}{n}>0 \end{eqnarray*}$ hatte ich noch vergessen, danke für den Hinweis.

Ich habe den Beweis aus einem alten englischen Buch und war mir nicht ganz sicher, ob ich ihn richtig erfasst habe. Ich finde die Schlussweise nicht sofort einleuchtend. Aber dann, nach einer Weile, dann kommt die Einsicht Augenzwinkern

11.01.2012, 20:39

DP1996

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Bitte.

Zitat:

Ich finde die Schlussweise nicht sofort einleuchtend. Aber dann, nach einer Weile, dann kommt die Einsicht Augenzwinkern

Kenn ich

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Beweis: i.A. gibt es keine rationale Zahl deren Quadrat ein Bruch ist ...

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