Quadranten des Tangens |
| 11.01.2012, 20:04 | TobD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Quadranten des Tangens Moin zusammen, hab im September mein Ingenieurs-Studium angefangen und bin gerade ordentlich am Mathe pauken. Aber jetzt zu meiner Frage: In der Schule wurde mir der Tangens nicht wirklich genau beigebracht, sondern eher oberflächlich, wobei das für einen Mathe-Leistungskurs eigentlich lachhaft ist, wenn ich weiter darüber nachdenke. Brauche den Tangens gerade für komplexe Zahlen und in der Vorlesung kam etwas mit den 4 Quadranten des Tangens vor. Also, worauf ich hinaus will ist... Bei tan(x / y) muss man anscheinend, je nach Vorzeichen von x und y pi addieren oder subtrahieren ? Allerdings habe ich das System nicht ganz verstanden, wann ich was machen muss und vor allem warum?! Meine Ideen: Wenn ich mir die Tangensfunktion anschaue, würde ich vermuten, dass ich das so machen müsste: tan(x / y) + 0 , bleibt also so tan (-x / -y) + 0 , bleibt also auch so tan (-x / y) - Pi tan (x / -y) + Pi Liege ich da richtig mit meiner Vermutung? |
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| 13.01.2012, 17:46 | TobD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hat keiner eine Idee? Bzw. weiß wie das funktioniert? :-( |
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| 13.01.2012, 17:58 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Quadranten des Tangens
Es geht darum, herauszufinden, welchen Winkel eine komplexe Zahl hat. Das macht man über den Arkustangens: . Das klappt auch ganz gut, solange Re positiv ist. Sagen wir mal, Re ist 1, dann ergibt sich bei Im=1 45° und bei Im=-1 -45°. Und genau dahin zeigen auch die komplexen Zahlen. Wenn aber Re (EDIT, hier stand Im) negativ wird, stimmt's nicht mehr. Es ist zwar klar, daß der Winkel nun zwischen 90° und 270° liegen muß (siehst Du das?), aber unser Arkustangens weiß nichts davon. Sind zum Beispiel Re und Im beide -1, wird der Winkel wieder zu 45° berechnet, obwohl er eben "auf der anderen Seite" liegt. Also muß in diesem Fall 180° gedreht werden. Wie herum, ist erstmal egal. Und wenn Re=0, dann muß man sich den Winkel "überlegen". Kriegst Du das hin? Viele Grüße Steffen |
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| 13.01.2012, 20:56 | TobD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo! Erstmal super großen Dank für deine Antwort! ;-) So in etwa habe ich verstanden was du mir da erklärt hast. Allerdings hab ich da noch ein paar Fragen. Also als Beispiel hast du ja genannt, dass zum Beispiel Re und Im beide -1 sind. Aber da könnte ich doch dann den normalen Tangens ohne weitere Verschiebung um Pi nutzen oder etwa nicht? Weil im Quadranten von 180-270 Grad verläuft ja der Tangens ohne Verschiebung. Und im Quadranten von 90 bis 180 Grad ist ja, wenn man nur den Tangens ohne irgendwelche Verschiebung betrachtet im Grunde nichts (?). Daher bin ich ausgegangen, dass man in dieser Situation durch -(Pi) das ganze verschieben muss in negative Re-Richtung. (Oh gott, ich hoffe Du verstehst was ich meine. Ich finds gerade extrem schwer, das zu erklären 
So und bei Re = 0 MUSS der Winkel doch zwingend +90° (positiver Im-Teil) bzw. -90° (negativer Im.-Teil) sein (?) Weil wenn kein Realteil vorhanden ist, dann kann der daraus resultierende "Vektor" (Ja ich weiß, im richtigen Vektorraum gelten andere Rechenregeln) ja nur zwingend auf der Im-Achse liegen. MfG |
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| 14.01.2012, 19:02 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es geht nicht darum, den Tangens zu verschieben, da hast Du vielleicht etwas mißverstanden. Es ist einfacher, als Du denkst. Es geht wirklich nur darum, herauszufinden, wohin zum Beispiel ein komplexer Zeiger zeigt, dessen Realteil und Imaginärteil beide negativ sind. Und das einzige Werkzeug, das wir benutzen können, ist der Arkustangens mit der genannten Formel, aber die versagt bei negativem Realteil, wie gezeigt. Der Arkustangens gibt eben immer nur Werte zwischen +90° und -90° zurück. Probier's aus. Aber wir wissen ja zum Glück, daß der Zeiger hier nicht auf halb zwei, sondern auf halb acht zeigt, weil wir die Polarität der beiden Komponenten kennen. Und uns das auch im Kopf vorstellen können, daß der Winkel 45° einfach nicht stimmen kann. Dieses bildliche Vorstellen ist bei komplexen Zahlen ohnehin sehr wichtig, finde ich. Es erspart einem viel fehlerträchtige Rechnerei.
Ganz genau! Auch hier versagt unsere Formel, weil ja durch Null dividiert würde. So müssen wir auch diesen Sonderfall abfangen, zusammen mit unserem bildlichen Vorstellungsvermögen. Viele Grüße Steffen |
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| 14.01.2012, 20:18 | TobD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Steffen, also ich glaube ich habe dich jetzt verstanden :-) HAbe das ganze jetzt mal in einem kleinen Bildchen so veranschaulicht, wie ich meine es verstanden zu haben. Also der Arcus-Tangens kann sich nur in den im Bild markierten Quadranten 1 und 2 bewegen. Wenn sich durch Vorzeichen-bedingte Änderungen der komplexe Zeiger allerdings im Quadranten 3 bzw. 4 befindet muss ich das ganze durch - (pi) wieder "ausgleichen" Ist das richtig so? Und Minus würde ich deswegen sagen, weils halt im negativen Bereich liegt. Lg Tobi |
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| 14.01.2012, 20:52 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Hinweis Schau mal bei der sogenannten atan2-Funktion vorbei, die adressiert so ziemlich genau die Problemstellung, um die es dir vermutlich geht. 
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| 14.01.2012, 21:17 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast es in der Tat verstanden. Willkommen in der Welt der komplexen Zahlen! Unser Mathedozent hat damals gesagt: "Wissen Sie, der Zahlenstrahl der reellen Zahlen ist eigentlich nur ein kleiner Schlitz, durch den wir ein wenig Licht sehen. (Der weiße Kreidestrich war damals eine schöne Metapher. Gibt's heute noch Kreide im Hörsaal?) Bald aber wird der Vorhang aufgehen, und Sie werden die ganze heller Schönheit der Zahlenebene bewundern können." Ich muß zugeben, ich bin selbst nach diesen bald dreißig Jahren immer noch begeistert von dieser Anschauungsweise. Und von den Erleichterungen, die mir die komplexen Zahlen bei so mancher Rechnung geben, gerade in der Elektrotechnik. Ich wünsche Dir, daß es Dir genauso geht. Nur noch eins: die Quadranten werden mathematisch positiv gezählt, der zweite ist also zwischen 90° und 180°. Nicht, daß irgendwann Mißverständnisse aufkommen, wenn Du vom "dritten Qudaranten" redest... Viele Grüße Steffen |
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| 14.01.2012, 21:19 | TobD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Hinweis
Hallo, erstmal vielen Dank. Sieht so aus, als wäre das genau das. Allerdings versteh ich immernoch nicht WARUM. Aus diesen Erklärungen bei Wikipedia werd ich einfach nicht schlau. Außerdem kann ich in der Klausur ja nicht schreiben "atan2". Laut Wiki ist das ja nur für Programmiersprachen und ich will ja nichts programmieren. Aber worauf es mir im Endeffekt ankommt, sind die Erklärungen, warum. Ich kann mir zwar merken wann ich + und - (Pi) machen muss, aber wenn ich nicht verstanden habe warum das so ist, dann bringt mir das auch nichts :-( Aber trotzdem vielen Dank! Es ist auf jeden Fall das, was ich gesucht habe! EDIT: Super! War wirklich nicht so schwer. Ich glaube ich habe zu sehr versucht mich auf die normale Tangens-Funtkion zu konzentrieren und mich von den komplexen Zahlen wegzubewegen. Vielen Dank Steffen! Du hast mir wirklich sehr geholfen! Und nein, bei uns gibt es keine Kreide 
Ich mache ein duales Studium und wir sind mit einer kleinen Gruppe von 22 Leuten in einem sehr modernen Gebäude. Da geht alles über Tablet-PC's und Beamer. Die Vorlesung / Skripte werden als PDF gespeichert und dann im Online-Campus zur Verfügung gestellt. Aber soweit ich weiß, werden in den richtig großen Studiengängen mit Hörsälen für Plätze weit im 3-stelligen Bereich immernoch gern übliche Tafeln und Folien für OHP's benutzt!P.s.: Ja, die komplexen Zahlen haben mir beim Abitur schon die Rechnungen in der Wechselstromlehre erleichtert :-) Ich werde mich auch wohl in Zukunft nur noch größtenteils mit der Elektrotechnik beschäftigen! Und ich weiß die komplexen Zahlen jetzt schon zu schätzen. Lg, Tobi |
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| 14.01.2012, 21:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Hinweis auf "atan2" war auch nur als Ergänzung gedacht - im Wiki findet sich nicht nur der Hinweis auf Programmiersprachen, sondern auch eine Formel, die atan2 mit Hilfe von arctan darstellt. Was die eigentliche Erklärung dessen angeht, da habe ich Steffen nun wirklich nicht ins Handwerk pfuschen wollen.
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| 14.01.2012, 23:01 | TobD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso! Tut mir leid ;-) Dann hab ich das wohl etwas falsch verstanden 
Also nochmal herzlichsten Dank an Euch beide!Lg Tobi |
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