Zufallsvariablen und Dichten

11.01.2012, 20:21

Matheersti

Zufallsvariablen und Dichten

Meine Frage:
Hey,

habe eine Zufallsvariable f mit Dichte h gegeben und soll die Dichten (falls existent) von:

a) $\begin{eqnarray*} f_{1}:= af + b;a\neq 0 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f_{2}:= f^{2c} ; c\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

bestimmten!

Meine Ideen:
also bei a) bin ich mir da eig recht sicher, bin mit g(x) = ax + b
über die Komposition gof1 gegangen (dafür haben wir dann nen satz, vor.: g'(x) ist größer oder kleiner 0; was ja hier der fall ist)

bei b) ist dann diese voraussetzung aber verletzt drum vermute ich vill dass die ZV von b) keine dichte besitzt hab aber im moment noch keinen Schimmer wie ich das zeigen könnte...

Vielleicht kann mir ja einer helfen!
dankeschön

11.01.2012, 21:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matheersti
bei b) ist dann diese voraussetzung aber verletzt drum vermute ich vill dass die ZV von b) keine dichte besitzt

Nein - es bedeutet nur, dass du deine schöne Formel nicht anwenden kannst, sondern selbst das Gehirn einschalten musst. Augenzwinkern

Es geht nämlich "zu Fuß": $\begin{eqnarray*} f_2 = f^{2c} = (f^c)^2 \end{eqnarray*}$ ist offenbar immer nichtnegativ, also ist deren Verteilungsfunktion nur für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ wirklich interessant:

$\begin{eqnarray*} P(f_2 \leq x) = P(f^{2c} \leq x) \stackrel{!}{=} P\left( -x^{\frac{1}{2c}} \leq f \leq x^{\frac{1}{2c}} \right) = H\left( x^{\frac{1}{2c}} \right) - H\left( -x^{\frac{1}{2c}} \right) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein möge (d.h. $\begin{eqnarray*} H'=h \end{eqnarray*}$ f.s.).

Und jetzt nur noch nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten.

11.01.2012, 22:51

Matheersti

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alles klar.. da wollts ichs mir vill zu einfach machen!
Vielen dank!
lg

11.01.2012, 23:03

Matheersti

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eine Frage hätte ich doch noch, wäre es nicht auch richtig einfach zu sagen:

$\begin{eqnarray*} P(f^{2c}\leq x)=P(f\leq x^{\frac{1}{2c}})=H(x^{\frac{1}{2c}}) \end{eqnarray*}$

weil es gilt doch:

$\begin{eqnarray*} P(-x^{\frac{1}{2c}}\leq f\leq x^{\frac{1}{2c}})=P(f\in [-x^{\frac{1}{2c}},x^{\frac{1}{2c}}])= P(f\leq x^{\frac{1}{2c}})- P(f<x^{\frac{1}{2c}}) \end{eqnarray*}$

und damit nicht was du geschrieben hast.. oder sehe ich das falsch?

danke
lg

12.01.2012, 07:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matheersti
$\begin{eqnarray*} P(-x^{\frac{1}{2c}}\leq f\leq x^{\frac{1}{2c}})=P(f\in [-x^{\frac{1}{2c}},x^{\frac{1}{2c}}])= P(f\leq x^{\frac{1}{2c}})- P(f<x^{\frac{1}{2c}}) \end{eqnarray*}$

Die letzte Gleichheit ist falsch, da fehlt ein Vorzeichen:

$\begin{eqnarray*} \ldots = P(f\leq x^{\frac{1}{2c}})- P(f<-x^{\frac{1}{2c}}) \end{eqnarray*}$

Dir ist offenbar immer noch nicht bewusst, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch negativ sein kann, aber für das Ereignis $\begin{eqnarray*} f^{2c}\leq x \end{eqnarray*}$ eben nicht zu klein negativ (= großer Betrag) sein darf. unglücklich

Das nächste Mal erwarte ich etwas besser durchdachte Überlegungen, bevor du Sachen (die du anscheinend nicht verstehst) als falsch bezeichnest. Finger2