Einfaches reelles Integral mit Residuensatz: Frage zu Residuum

11.01.2012, 22:23

latingirl

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Einfaches reelles Integral mit Residuensatz: Frage zu Residuum

Meine Frage:
Hallo alle zusammen!

Folgendes Integral möchte ich mit dem Residuensatz berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^\infty \!\frac{1}{(1+x^2)^{n+1} } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, dass jeweils für x=i und x=-i Pol von n+1-ter Ordnung vorliegen.
Ich kenne auch die Formel für die Berechnung von Residuen von Polstellen.
Nur wie berechne ich die n-te Ableitung von (ich habe den Nenner ausein.gezogen):
$\begin{eqnarray*} \frac{(z-i)^{n+1}}{(1-iz)^{n+1}(1+iz)^{n+1}} \end{eqnarray*}$
Oder bin ich auf dem Holzweg? :-)
Danke schon jetzt für eure Antworten!

11.01.2012, 22:41

latingirl

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Ich nehme an, dass allen, die meine Frage lesen, auch eben diese Formel zur Bestimmung von Residuen an Polstellen kennen (mit Limes ...).

11.01.2012, 23:05

latingirl

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Liege ich mit folgender Lösung richtig:
$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi } \! sin^4(\frac{\pi }{6}+2e^{it}) \, dt=-\frac{1}{8} \pi \end{eqnarray*}$ ?
Hierfür habe ich die Berechnung durch das Wegintegral rückgängig gemacht, indem ich für 2e^it die Kreislinie um 0 mit Radius 2 betrachtet habe. Mit dem Residuensatz für den Pol 0 von 1.Ordn. folgt dann...

12.01.2012, 00:56

gonnabphd

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Was hat denn dieses Integral

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi } \! sin^4(\frac{\pi }{6}+2e^{it}) \, dt=-\frac{1}{8} \pi \end{eqnarray*}$
? Hierfür habe ich die Berechnung durch das Wegintegral rückgängig gemacht, indem ich für 2e^it die Kreislinie um 0 mit Radius 2 betrachtet habe. Mit dem Residuensatz für den Pol 0 von 1.Ordn. folgt dann...

mit dem ursprünglichen zu tun? verwirrt

verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^\infty \!\frac{1}{(1+x^2)^{n+1} } \, dx \end{eqnarray*}$

Zur eigentlichen Aufgabe:
Man kann das Integral zwar auch mit Mitteln der Analysis lösen, aber ich gebe dir mal einen Tipp für den von dir eingeschlagenen funktionentheoretischen Weg: Du weisst bestimmt*, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \mathbb dx = 2\pi i \sum_{|Im(z)| > 0} \mathrm{Res}(f,z) \end{eqnarray*}$

(* natürlich meine ich das nicht allgemein, sondern für geeignetes f(z) - z.B. das hier betrachtete!)
Ich denke, du hast ebenfalls schon erkannt, dass wir hier das Residuum von f im Punkt z = i berechnen müssen (da dies die einzige Polstelle von f mit |Im(z)|>0 ist).

Nun ist

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Res}(f, i) = \frac{1}{n!} \left(\frac{d}{dz} \right)^n _{z = i}\frac{(z-i)^{n+1}}{(1+z^2)^{n+1}} = \frac{1}{n!} \left(\frac{d}{dz} \right)^n_{z = i} \frac{(z-i)^{n+1}}{(z-i)^{n+1}(z+i)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Du hast also bloss $\begin{eqnarray*} 1+z^2 \end{eqnarray*}$ ein bisschen ungünstig faktorisiert.

Wink

Wink

12.01.2012, 13:25

latingirl

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Hallo gonnabphd!

Danke für deine Antwort. Ich möchte den fkt.theoret. Weg einschlagen und, oh mann, die Zerlegung im Nenner war wirklich ungeschickt! Aber sonst habe ich mir das alles so gedacht, wie du es auch beschrieben hast...
Auf dem analyt. Weg müsste man ja eine Stammfkt. finden (die Fkt. ist ja dann überall def., hat also keine Polstellen). Würde man da mit dem Logarithmus arbeiten?

Danke nochmals!

12.01.2012, 13:30

latingirl

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Das Integral mit sinus war eine andere Aufgabe...
Möchte hier nur wissen, ob ich das so rechnen kann und ob das Ergebnis stimmt.

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12.01.2012, 14:21

latingirl

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Als Lösung für das Integral mit (z-i) und (z+i) im Nenner erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 2\pi i\frac{1}{n!} \frac{(2n)!}{n!} \frac{1}{2^{2n} } \end{eqnarray*}$
Wäre toll, wenn das jemand kurz überprüfen könnte...
Danke!

12.01.2012, 14:22

gonnabphd

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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dieses Integral auf anderem Wege auszurechnen.

1. Weg

Sei

$\begin{eqnarray*} I_n = \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} I_0 = \arctan(x) \Big|_{-\infty}^\infty = \pi \end{eqnarray*}$
Durch partielle Integration sehen wir, dass

$\begin{eqnarray*} I_n &=& \int \frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^{n+1}} \\ &=& (n+1) \int \frac{2x^2 \mathrm dx}{(1+x^2)^{n+2}}\\ &=& (n+1)\int \frac{2(x^2 + 1)\mathrm dx}{(1+x^2)^{n+2}} - (n+1)\int \frac{2\mathrm dx}{(1+x^2)^{n+2}}\\ &=&2 (n+1)I_n - 2(n+1) I_{n+1} \end{eqnarray*}$

Also haben wir die Rekursion

$\begin{eqnarray*} I_{n+1} = \frac{2n+1}{2(n+1)} I_n, \qquad I_0 = \pi \end{eqnarray*}$

2. Weg

Definiere $\begin{eqnarray*} F(a) = \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm dx}{(a+x^2)} \end{eqnarray*}$ . Man berechnet leicht $\begin{eqnarray*} F(a) = \frac{\pi}{\sqrt a} \end{eqnarray*}$ und kann dann F n-mal ableiten und bei a=1 auswerten.

12.01.2012, 14:24

gonnabphd

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P.s. wenn du überprüfen willst, ob Werte für Integrale stimmen, dann versuchs doch besser bei wolframalpha.com.

z.B.

code:
1:	Integrate[Sin[Pi/6+2Exp[It]], {t, 0, 2 Pi}]

berechnet dein zweites Integral.

12.01.2012, 14:56

latingirl

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Wie kommst du auf den ersten Schritt mit der partiellen Integration?

Und: Wolfram zeigt mir bei meinem Integral sin^4 als Wert 0.392699-8.88178x10^-16 i.
1/8*pi = 0.392699 aber was bedeutet der Rest??? Ist mein Ergebnis etwa doch falsch oder kann der rechte Teil weggelassen werden, liegt ja doch sehr nahe bei Null...

...und leider ist mein Ergebnis ja -1/8*pi

Gruß

12.01.2012, 15:02

latingirl

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Und bei dem ersten Integral will es mir keine Zahl ausgeben zu:

Integrate[1/[1+x^2]^[n+1]], {t, -infty, infty}]

aber auch nicht dann, wenn ich n genau definiere, z.B. Integrate[1/[1+x^2]^[2+1]], {t, -infty, infty}]

12.01.2012, 16:13

gonnabphd

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Also bei mir gibt Wolfram folgendes aus

[attach]22669[/attach]

Dein anderes Integral ist nur fast richtig. z.B. für n=0 müsstest du $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bekommen. Dein Ergebnis ist um den Faktor 2i falsch (auch für grössere Werte von n).

12.01.2012, 16:17

latingirl

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Zitat:

Original von gonnabphd
Also bei mir gibt Wolfram folgendes aus

[attach]22669[/attach]

... du hast das "hoch 4" beim Sinus vergessen...

12.01.2012, 16:56

gonnabphd

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Zitat:

Wie kommst du auf den ersten Schritt mit der partiellen Integration?

Einfach $\begin{eqnarray*} f(x) \, \mathrm d x = 1\cdot f(x) \, \mathrm dx \end{eqnarray*}$ und nun 1 integrieren, f(x) differenzieren.

Zitat:

... du hast das "hoch 4" beim Sinus vergessen...

Oops.

[attach]22670[/attach]

Wenn du mir sagst, was du gerechnet hast, dann kann ich dir vielleicht sagen, wo du den Vorzeichenfehler gemacht hast. Sonst wird's schwierig. Aber es muss sich um einen kleinen Fehler handeln, denn das Ergebnis stimmt ja fast.

12.01.2012, 17:09

latingirl

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... hab ihn gerade gefunden beim nochmals Aufschreiben fürs Forum... (falsche Verwend. v. Res.satz)

Danke trotzdem!

12.01.2012, 17:11

latingirl

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wolfram ist toll, aber bei mir ergibt es nicht so schöne Darstellungen wie bei dir...
Wie sieht es mit meinem anderen Integral aus???

12.01.2012, 18:04

gonnabphd

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Zitat:

Dein anderes Integral ist nur fast richtig. z.B. für n=0 müsstest du $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bekommen. Dein Ergebnis ist um den Faktor 2i falsch (auch für grössere Werte von n).

Nach dem Ableiten bekommst du

$\begin{eqnarray*} \text{irgendwas} \cdot \frac{1}{(z+i)^{2n\textcolor{red}{+1}}} \end{eqnarray*}$

12.01.2012, 18:15

Leopold

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Zitat:

Original von latingirl
Als Lösung für das Integral mit (z-i) und (z+i) im Nenner erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 2\pi i\frac{1}{n!} \frac{(2n)!}{n!} \frac{1}{2^{2n} } \end{eqnarray*}$
Wäre toll, wenn das jemand kurz überprüfen könnte...
Danke!

Daß das um den Faktor $\begin{eqnarray*} 2 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ falsch ist, hat gonnabphd schon gesagt. Daß es falsch ist, hättest du dir aber auch selber sagen können. Denn wie kann ein rein reelles Integral einen nicht-reellen Wert haben?

Man kann das Ergebnis auch als $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4^n} {{2n} \choose n} \end{eqnarray*}$ schreiben.

12.01.2012, 19:29

latingirl

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Ok, wunderbar, den Wert des Integrals hab ich jetzt auch raus... Tanzen

Tanzen

Die partielle Integration hab ich auch hinbekommen, ich versteh dann aber nicht deine Gleichung:

Zitat:

Original von gonnabphd

$\begin{eqnarray*} I_n &=& \int \frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^{n+1}} \\ &=& (n+1) \int \frac{2x^2 \mathrm dx}{(1+x^2)^{n+2}}\\ & \end{eqnarray*}$

Denn mit partieller Integration erhalte ich doch lediglich:

$\begin{eqnarray*} \int \! -(n+1)\frac{2x}{(1+x^2)^{n+2}} \, dx =\left[x\frac{1}{(1+x^2)^{n+1}} \right] -\int \! \frac{1}{(1+x^2)^{n+1}} \, dx \end{eqnarray*}$

???

12.01.2012, 20:48

gonnabphd

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Mit $\begin{eqnarray*} \int \ldots \, \mathrm dx \end{eqnarray*}$ ist hier Integration über ganz IR gemeint (war nur zu faul, die Grenzen zu schreiben).

12.01.2012, 20:50

latingirl

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Das ist mir schon klar (ich war ja in meiner Schreibweis genauso faul)...

Aber wohin verschwindet der Ausdruck in eckigen Klammern???

12.01.2012, 21:43

gonnabphd

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Der ist natürlich null. (Der Nenner geht ja schneller gegen unendlich als der Zähler. )

12.01.2012, 21:49

latingirl

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okidoki, ist klar...

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