Einfaches reelles Integral mit Residuensatz: Frage zu Residuum |
11.01.2012, 22:23 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Einfaches reelles Integral mit Residuensatz: Frage zu Residuum Hallo alle zusammen! Folgendes Integral möchte ich mit dem Residuensatz berechnen: Meine Ideen: Ich weiß, dass jeweils für x=i und x=-i Pol von n+1-ter Ordnung vorliegen. Ich kenne auch die Formel für die Berechnung von Residuen von Polstellen. Nur wie berechne ich die n-te Ableitung von (ich habe den Nenner ausein.gezogen): Oder bin ich auf dem Holzweg? :-) Danke schon jetzt für eure Antworten! |
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11.01.2012, 22:41 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Ich nehme an, dass allen, die meine Frage lesen, auch eben diese Formel zur Bestimmung von Residuen an Polstellen kennen (mit Limes ...). |
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11.01.2012, 23:05 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Liege ich mit folgender Lösung richtig: ? Hierfür habe ich die Berechnung durch das Wegintegral rückgängig gemacht, indem ich für 2e^it die Kreislinie um 0 mit Radius 2 betrachtet habe. Mit dem Residuensatz für den Pol 0 von 1.Ordn. folgt dann... |
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12.01.2012, 00:56 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Was hat denn dieses Integral
mit dem ursprünglichen zu tun?
Zur eigentlichen Aufgabe: Man kann das Integral zwar auch mit Mitteln der Analysis lösen, aber ich gebe dir mal einen Tipp für den von dir eingeschlagenen funktionentheoretischen Weg: Du weisst bestimmt*, dass (* natürlich meine ich das nicht allgemein, sondern für geeignetes f(z) - z.B. das hier betrachtete!) Ich denke, du hast ebenfalls schon erkannt, dass wir hier das Residuum von f im Punkt z = i berechnen müssen (da dies die einzige Polstelle von f mit |Im(z)|>0 ist). Nun ist Du hast also bloss ein bisschen ungünstig faktorisiert. |
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12.01.2012, 13:25 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Hallo gonnabphd! Danke für deine Antwort. Ich möchte den fkt.theoret. Weg einschlagen und, oh mann, die Zerlegung im Nenner war wirklich ungeschickt! Aber sonst habe ich mir das alles so gedacht, wie du es auch beschrieben hast... Auf dem analyt. Weg müsste man ja eine Stammfkt. finden (die Fkt. ist ja dann überall def., hat also keine Polstellen). Würde man da mit dem Logarithmus arbeiten? Danke nochmals! |
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12.01.2012, 13:30 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Das Integral mit sinus war eine andere Aufgabe... Möchte hier nur wissen, ob ich das so rechnen kann und ob das Ergebnis stimmt. |
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12.01.2012, 14:21 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Als Lösung für das Integral mit (z-i) und (z+i) im Nenner erhalte ich: Wäre toll, wenn das jemand kurz überprüfen könnte... Danke! |
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12.01.2012, 14:22 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dieses Integral auf anderem Wege auszurechnen. 1. Weg Sei Dann ist Durch partielle Integration sehen wir, dass Also haben wir die Rekursion 2. Weg Definiere . Man berechnet leicht und kann dann F n-mal ableiten und bei a=1 auswerten. |
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12.01.2012, 14:24 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
P.s. wenn du überprüfen willst, ob Werte für Integrale stimmen, dann versuchs doch besser bei wolframalpha.com. z.B.
berechnet dein zweites Integral. |
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12.01.2012, 14:56 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Wie kommst du auf den ersten Schritt mit der partiellen Integration? Und: Wolfram zeigt mir bei meinem Integral sin^4 als Wert 0.392699-8.88178x10^-16 i. 1/8*pi = 0.392699 aber was bedeutet der Rest??? Ist mein Ergebnis etwa doch falsch oder kann der rechte Teil weggelassen werden, liegt ja doch sehr nahe bei Null... ...und leider ist mein Ergebnis ja -1/8*pi Gruß |
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12.01.2012, 15:02 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Und bei dem ersten Integral will es mir keine Zahl ausgeben zu: Integrate[1/[1+x^2]^[n+1]], {t, -infty, infty}] aber auch nicht dann, wenn ich n genau definiere, z.B. Integrate[1/[1+x^2]^[2+1]], {t, -infty, infty}] |
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12.01.2012, 16:13 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Also bei mir gibt Wolfram folgendes aus [attach]22669[/attach] Dein anderes Integral ist nur fast richtig. z.B. für n=0 müsstest du bekommen. Dein Ergebnis ist um den Faktor 2i falsch (auch für grössere Werte von n). |
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12.01.2012, 16:17 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
... du hast das "hoch 4" beim Sinus vergessen... |
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12.01.2012, 16:56 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Einfach und nun 1 integrieren, f(x) differenzieren.
Oops. [attach]22670[/attach] Wenn du mir sagst, was du gerechnet hast, dann kann ich dir vielleicht sagen, wo du den Vorzeichenfehler gemacht hast. Sonst wird's schwierig. Aber es muss sich um einen kleinen Fehler handeln, denn das Ergebnis stimmt ja fast. |
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12.01.2012, 17:09 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
... hab ihn gerade gefunden beim nochmals Aufschreiben fürs Forum... (falsche Verwend. v. Res.satz) Danke trotzdem! |
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12.01.2012, 17:11 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
wolfram ist toll, aber bei mir ergibt es nicht so schöne Darstellungen wie bei dir... Wie sieht es mit meinem anderen Integral aus??? |
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12.01.2012, 18:04 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Nach dem Ableiten bekommst du |
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12.01.2012, 18:15 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Daß das um den Faktor falsch ist, hat gonnabphd schon gesagt. Daß es falsch ist, hättest du dir aber auch selber sagen können. Denn wie kann ein rein reelles Integral einen nicht-reellen Wert haben? Man kann das Ergebnis auch als schreiben. |
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12.01.2012, 19:29 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Ok, wunderbar, den Wert des Integrals hab ich jetzt auch raus... Die partielle Integration hab ich auch hinbekommen, ich versteh dann aber nicht deine Gleichung:
Denn mit partieller Integration erhalte ich doch lediglich: ??? |
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12.01.2012, 20:48 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Mit ist hier Integration über ganz IR gemeint (war nur zu faul, die Grenzen zu schreiben). |
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12.01.2012, 20:50 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Das ist mir schon klar (ich war ja in meiner Schreibweis genauso faul)... Aber wohin verschwindet der Ausdruck in eckigen Klammern??? |
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12.01.2012, 21:43 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Der ist natürlich null. (Der Nenner geht ja schneller gegen unendlich als der Zähler. ) |
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12.01.2012, 21:49 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
okidoki, ist klar... |
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