Grenzwertberechnungen

11.01.2012, 22:38

Ankit

Grenzwertberechnungen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich sitze nunmehr seit einiger Zeit an meinen Mathe-Aufgaben, aber komme leider nicht auf alle Lösungen bzw bin mir nicht sicher ob meine Lösungen stimmen. Wäre Super,wenn ihr mir helfen könntet.
Hier die Aufgaben:
Berechnen Sie jeweils den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n})(n \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} 1) a_{n} = \sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2) a_{n} = (\frac{n+1}{n}) ^{2n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Ansätze und Ideen zu:
1) Ich habe die Brüche jeweils durch n² geteilt, so dass ich als Endergebnis 1 rausbekomme für $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das Ergebnis und die Idee?

2) Hier kam ich auf die Idee, den Bruch zu umschreiben in:
$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n})^{2n} \end{eqnarray*}$ und daraus resultiert ja eigentlich dass der Grenzwert gegen 1 strebt. Ein Kommilitone war allerdings davon überzeugt, es sei $\begin{eqnarray*} a_{n}=e^{x} \end{eqnarray*}$ , was ich mir nicht erklären kann.

Würde mich sehr über Feedback freuen! Augenzwinkern

LG

Ankit

Edit (mY+): LaTeX berichtigt.

11.01.2012, 22:43

Ankit

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RE: Grenzwert Aufgaben - Probleme
Ach Mann, irgendwie ist mir das nicht gelungen mit den Formeln-.- Kann sie jemand trotzdem entziffern? Bin irgendwie am verzweifeln heute Abend....

11.01.2012, 23:01

Mulder

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RE: Grenzwert Aufgaben - Probleme
Du musst die Formeln auch in die Latex-Umgebung packen:

code:
1:	[latex] hier die Formeln rein [/latex]

So, dann mal zu den Aufgaben:

Zitat:

Original von Ankit
1) Ich habe die Brüche jeweils durch n² geteilt, so dass ich als Endergebnis 1 rausbekomme für a_{n}. Stimmt das Ergebnis und die Idee?

Nein. Wo sind da denn Brüche? Ich seh da die Differenz zweier Wurzelausdrücke. Stell dir das Ganze als einen Bruch mit einer 1 im nenner vor und erweitere den Bruch dann so, dass du im Zähler die dritte binomische Formel anwenden kannst.

Zitat:

Original von Ankit
2) Hier kam ich auf die Idee, den Bruch zu umschreiben in:
(1-\frac{1}{n})^{2n} und daraus resultiert ja eigentlich dass der Grenzwert gegen 1 strebt.

Das ist ebenfalls falsch. Und wieso taucht da plötzlich ein Minus auf?

Der Gedanke mit der e-Funktion ist schon richtig. Diese kann man nämlich als Grenzwert der Folge

$\begin{eqnarray*} a_n = \left( 1 + \frac 1n \right)^n \end{eqnarray*}$

definieren. Der Grenzwert dieser Folge ist e. Schlag das nochmal nach, das wird irgendwann mal drangewesen sein und das ist wichtig.

12.01.2012, 23:06

Ankit

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Hallo,

erst mal vielen Dank für die Hilfe. Ich habe da mal weiter ausprobiert und komme nach deinen Vorschlägen auf folgendes:

1. $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n} } {1} \end{eqnarray*}$

um die 3. Binomische Formel anwenden zu können, muss man erweitern mit:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n} \end{eqnarray*}$ ,

sodass man folgenden Bruch erhält:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n})*(\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n} ) }{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n} } \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Leider komme ich an dieser Stelle nicht weiter irgendwie unglücklich

Könnte mir jemand vielleicht weiterhelfen?

Vielen vielen Dank schon mal...

12.01.2012, 23:48

Mulder

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Wieso kommst du nicht weiter? Ich hab dir doch gesagt, was nach dem Erweitern zu tun ist. Du selbst hast es sogar wiederholt:

Zitat:

Original von Ankit
um die 3. Binomische Formel anwenden zu können

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