Konvergenz von Reihen

11.01.2012, 23:38

Lycidas

Konvergenz von Reihen

Es geht um die beiden folgenden, einander recht ähnlichen Aussagen, die man beweisen oder widerlegen soll:

1) Gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}=1 \end{eqnarray*}$ für alle n, so konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

2) Gilt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1 \end{eqnarray*}$ für alle n, so konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} \end{eqnarray*}$ genau dann absolut, wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Meine Ideen:
Wenn man mal voraussetzt, dass der Grenzwert des Quotienten jeweils 1 ist und dass eine der beiden Reihen (absolut) konvergiert, so folgt daraus, dass die zugehörige Folge eine Nullfolge ist. Insbesondere, wenn diese Folge im Nenner steht, ist das etwas problematisch bzw. man kann den Grenzwert dann nicht direkt berechnen - bzw. er ergibt sich m.E. nur dann unproblematisch als 1, wenn im Zähler genau dieselbe Folge steht. Wenn die beiden Folgen identisch sind, dann sind natürlich beide Aussagen trivialerweise richtig. Es ist mir bisher auch nicht gelungen, mir zwei verschiedene Nullfolgen auszudenken, deren Quotientengrenzwert 1 ist. Wenn also die Aussage falsch ist (bzw. die Aussagen, es sind ja zwei), wie finde ich dann ein Gegenbeispiel?
Und wenn sie richtig ist... wie beweise ich das? Selbst wenn meine Überlegungen richtig sein sollten, sehe ich noch nicht ganz den Weg zum Beweis. unglücklich

12.01.2012, 12:06

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 2 funktioniert mit majorantenkriterium, also man kann die Aussage beweisen. ich glaube die 1 stimmt nicht, aber mir gelingt nicht, ein Gegenbeispiel zu finden, vielleicht kann wer anders hier helfen?

12.01.2012, 13:42

Lycidas

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. smile

Mir erschließt sich noch nicht ganz, wie man unter Verwendung des Majorantenkriteriums argumentieren würde...
Wenn man mal voraussetzt, dass der Grenzwert des Quotienten der beiden Folgen gleich 1 ist und oBdA $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert, dann wäre ja nach dem Majorantenkriterium zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |b_{n}|\leq{a_{n}} \end{eqnarray*}$ ab einem gewissen n für alle Folgenglieder gilt, um die absolute Konvergenz der Reihe über $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ zu beweisen.
Um diese Ungleichung zu zeigen, müsste ich ja sicherlich irgendwie diese Grenzwertvoraussetzung verwenden... aber wie kann ich denn davon auf das Größenverhältnis der beiden Folgen schließen?

12.01.2012, 13:48

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm mal epsilon gleich 1/2 und beachte $\begin{eqnarray*} | |a| -|b||\leq |a-b| \end{eqnarray*}$ , löse dann einen betrag auf und multipliziere mit |bn|

12.01.2012, 14:10

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ungewiss
ich glaube die 1 stimmt nicht, aber mir gelingt nicht, ein Gegenbeispiel zu finden, vielleicht kann wer anders hier helfen?

Aber gern:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

12.01.2012, 17:38

Lycidas

Auf diesen Beitrag antworten »

@Ungewiss:
Dann würde man folgendermaßen argumentieren:
Sei die Reihe über $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergent.
Wegen der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n}}{b_{n}} \end{eqnarray*}$ gegen 1 gilt ab einem gewissen n:
$\begin{eqnarray*} ||\frac{a_{n}}{b_{n}}|-1|\leq{|\frac{a_{n}}{b_{n}}-1|}<1/2<br /> => 1/2<|\frac{a_{n}}{b_{n}}|<3/2<br /> => |b_{n}|<2*|a_{n}| \end{eqnarray*}$

Da die Reihe über $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert, konvergiert auch die Reihe über $\begin{eqnarray*} 2*a_{n} \end{eqnarray*}$ absolut und ist somit eine konvergente Majorante zur Reihe über $\begin{eqnarray*} |b_{n}| \end{eqnarray*}$
Um die umgekehrte Implikation zu zeigen, benutzt man dann die Abschätzung $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n}}{b_{n}}|<3/2 \end{eqnarray*}$ in analoger Weise.

Korrekt?

@René Gruber:
Wie kommt man auf solche Beispiele? Das wäre mir garantiert nie eingefallen... :/

Danke euch beiden!

Vielleicht könnt ihr mir noch bei einer letzten Aufgabe helfen... Es geht um folgendes:
Gilt $\begin{eqnarray*} a_{n}\geq0 \end{eqnarray*}$ für alle n und ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \end{eqnarray*}$ divergent, so ist auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{1+a_{n}} \end{eqnarray*}$ divergent.

Man sollte bereits die umgekehrte Implikation beweisen, was ganz einfach übers Minorantenkriterium ging, daher ging ich davon aus, dass diese Aussage nun falsch ist. Wir haben aber eigentlich nicht besonders viele divergente Reihen behandelt, weswegen ich auch hier kein Gegenbeispiel finden kann. Liegt das daran, dass ich zu einfallslos bin, oder ist die Aussage vielleicht doch wahr? (Wenn ja, wie beweist man sie? Das Minorantenkriterium funktioniert naheliegenderweise nicht...)

13.01.2012, 07:22

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lycidas
Gilt $\begin{eqnarray*} a_{n}\geq0 \end{eqnarray*}$ für alle n und ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \end{eqnarray*}$ divergent, so ist auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{1+a_{n}} \end{eqnarray*}$ divergent.

[...]

Das Minorantenkriterium funktioniert naheliegenderweise nicht...)

Soso...

Betrachte die beiden Fälle

1) $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ beschränkt

2) $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ unbeschränkt

Bei 1) kannst du das Minorantenkriterium anwenden, und die Divergenz bei 2) ist eh trivial.

13.01.2012, 09:55

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für das Gegenbeispiel!

13.01.2012, 20:18

Lycidas

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René GruberBetrachte die beiden Fälle

1) $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ beschränkt

2) $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ unbeschränkt

Bei 1) kannst du das Minorantenkriterium anwenden, und die Divergenz bei 2) ist eh trivial.

Der Fall 1 würde bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} a_n\leq{M} \end{eqnarray*}$ für ein positives, reelles M wäre. Aber das ändert doch nichts daran, dass $\begin{eqnarray*} a_n\geq\frac{a_n}{a_n+1} \end{eqnarray*}$ ist, wie bekomme ich denn da die Minorante?

13.01.2012, 20:44

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{1+a_n}\geq\frac{a_n}{M+1} \end{eqnarray*}$

13.01.2012, 20:52

Lycidas

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah... das hatte ich sogar beinahe, aber ich hab nicht erkannt, dass mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{M+1} \end{eqnarray*}$ divergiert... vielleicht sollte ich mal wieder ausschlafen.

Vielen Dank euch beiden! smile

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz von Reihen

Verwandte Themen