offene Überdeckung |
| 02.07.2004, 15:19 | peer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| offene Überdeckung ich versuche mir den Begriff der offenen Überdeckung schmackhaft zu machen und beziehe mich dabei auf die Definition (Einführung in die Analysis II von Winfried Kaballo): Zitat Anfang Es seien X ein Metrischer Raum und a) Ein System U von offenen Teilmengen von X heisst offene Ueberdeckung von M, falls gilt. b) Ein Teilsystem heisst Teilueberdeckung von M, falls auch gilt. Zitat Ende Es werden zwei Beispiele vorgestellt. Das finde ich einleuchtend, denn Z ist ja in U enthalten. Das leuchtet mir nicht ein, denn R müsste ja in U enthalten sein, doch R und Z sind ja nicht gleichmächtig, d.h. R kann nicht in U sein, denn (merkwürdiges Beispiel) auf Z bezogen ist doch eine kleinere Menge als auf R bezogen also kann doch R nicht in U enthalten sein. Ich hoffe, daß Ihr mein Problem versteht und mir weiterhelfen könnt. Vielen Dank im voraus. EDIT: Mimetex reduziert wegen Fensterbreite (Irrlicht) |
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| 02.07.2004, 15:32 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: offene Überdeckung Hallo peer, R soll Teilmenge der Vereinigung der U(j) sein. Dies ist so wenn für alle x element R ein j existiert so daß x element U(j). Dies ist wohl so. Gruß mathemaduenn |
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| 02.07.2004, 15:40 | Sir Jective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: offene Überdeckung
Beachte, dass beim Intervall (-j, j) zwar die Grenzen ganze Zahlen sind, aber dieses Intervall natürliche alle reellen Zahlen zwischen -j und j enthält. Übrigens ist im ersten Beispiel Z nicht in U enthalten (weder als Element noch als Teilmenge). Stattdessen ist jedes Element von Z in einem Element von U enthalten (und das heißt Überdeckung!). |
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| 03.07.2004, 02:48 | peer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| offene Überdeckung Vielen Dank für die schnelle Reaktion ! Ich mußte das ersteinmal sacken lassen ... Zu Mathemaduenn Ich glaube der Ansatz bringt mich weiter - ich hatte mich schon so in eine Ecke gedacht, daß ich darauf gar nicht mehr gekommen bin. Trotzdem habe ich noch ein Problem, denn R und Z sind ja nicht gleichmächtig, also gibt es nicht ein x aus R, daß noch ein wenig mehr unendlich ist als die j aus Z ? Das klingt ein wenig albern aber ich weiß nicht wie ich mich anders ausdrücken kann. Zu Sir Jective Zitat Anfang Übrigens ist im ersten Beispiel Z nicht in U enthalten (weder als Element noch als Teilmenge) Zitat Ende Das Mengensystem U = (-1/2,1/2) u (1/2,3/2) u (3/2,5/2) u ... u (-oo,+oo) ist doch als Vereinigung von Mengen eine Menge und enthält dann doch auch Z als Teilmenge oder ist das so falsch aufgeschrieben ? Ihr seht, daß ich wohl noch einige Schritte machen muß, aber irgendwann macht es Klick ... Ich hoffe auf weitere konstruktive Vorschläge. Vielen Dank im voraus. |
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| 03.07.2004, 11:20 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: offene Überdeckung
Für jede positive reelle Zahl gibt es eine ganze Zahl, die grösser ist (archimedisches Axiom). Analog gibt es für jede negative reelle Zahl eine ganze Zahl, die kleiner ist. Die Überabzählbarkeit entsteht durch die Anzahl der Zahlen, die dazwischen liegen. Bereits das Intervall ]-1,1[ enthält überabzählbar viele reelle Zahlen.
Diese Schreibweise U = (-1/2,1/2) u (1/2,3/2) u (3/2,5/2) u ... u (-oo,+oo) ist nicht das was ursprünglich da steht! Das Mengensystem U ist eine Menge von Mengen: U = {...,(-3/2,-1/2), (-1/2,1/2), (1/2,3/2), (3/2,5/2), ...} Deshalb kann auch Z gar keine Teilmenge von U sein, weil Z keine Menge von Mengen ist, sondern eine Menge von Zahlen. Darüber hinaus ist das Intervall (-oo,+oo) in U gar nicht drin und tritt nicht mal bei der Vereinigung der Elemente von U auf. |
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| 03.07.2004, 11:57 | peer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| offene Überdeckung Vielen Dank ! Jetzt bin ich geheilt 
Da habe ich ja eine ganze Menge vergessen, doch jetzt habe ich es verstanden. |
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