Beweis Folgenkonvergenz

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12.01.2012, 00:32	WernerW	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Folgenkonvergenz Meine Frage: Ich muss mit der Def. der Folgenkonvergenz, also mit Epsilonik zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\left( \frac{2n^2+1}{n(2n+1)} \right)=1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ansatz: Es existiert ein $\begin{eqnarray} N\geq n_{0} \end{eqnarray}$ für das gilt: $\begin{eqnarray} \| \frac{2n^2+1}{n(2n+1)} -1\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ Den Ausdruck im Betrag hab ich vereinfacht zu $\begin{eqnarray} \frac{1-n}{2n^2+1} \end{eqnarray}$ , allerdings weiß ich jetzt nicht mehr weiter!
12.01.2012, 00:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest deinen Nenner überprüfen, da fehlt etwas. Außerdem fehlen bei dir die Betragsstriche. Danach kannst du dich an die Abschätzung nach oben machen, diese verläuft ähnlich wie etwa bei der Folge $\begin{eqnarray} a_n=\frac 1n \end{eqnarray}$ .
12.01.2012, 19:25	WernerW	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, du hast Recht! $\begin{eqnarray} \frac{2n^2+1}{n(2n+1)} = \frac{2n^2+1}{n(2n+1)} - \frac{n(2n+1)}{n(2n+1)} = \frac{2n^2+1-2n^2-n}{2n^2+n} = \frac{1-n}{2n^2+n} \end{eqnarray}$ (jeweils mit den Betragsstrichen außen rum). Ich versteh leider nicht ganz, wie ich das nach oben abschätzen soll
12.01.2012, 20:32	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind dir denn andere Nachweise der Konvergenz über die Defintion geläufig?
12.01.2012, 21:44	WernerW	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die kenn ich. Ich muss das jetzt irgendwie nach oben abschätzen, nur ist mir leider nicht ganz klar wie
12.01.2012, 22:02	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine einfache Möglichkeit würde darin bestehen, den Nenner zu bearbeiten und den Bruch somit größer zu machen. Außerdem solltest du den Betrag mal auflösen, $\begin{eqnarray} \left\|\frac{1-n}{2n^2+n}\right\|=... \end{eqnarray}$
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12.01.2012, 22:35	WernerW	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du in etwa so abschätzen? $\begin{eqnarray} \left\|\frac{1-n}{2n^2+n}\right\|=\left\|\frac{\frac{1}{n}-1 }{2n+1} \right\|<\left\|\frac{\frac{1}{n}-1}{2n}\right\| <\left\|\frac{\frac{1}{n}-1}{n}\right\| =\left\|1-\frac{1}{n} \right\| \end{eqnarray}$
12.01.2012, 22:44	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre eine Abschätzung nach oben, aber diese bringt dich nicht weiter, da du zu stark abschätzt. Lös doch endlich mal den Betrag auf, dann kannst du den Nenner verkleinern und nach oben abschätzen.
12.01.2012, 22:56	WernerW	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich dann eine Fallunterscheidung durchführen?
12.01.2012, 23:07	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Sofern ihr die natürlichen Zahlen ohne die 0 definiert habt, ist eine Fallunterscheidung nicht nötig.
13.01.2012, 14:08	WernerH	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist aber, dass wir Folgen auf den ganzen Zahlen definiert haben, nicht nur auf den natürlichen
13.01.2012, 14:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie sieht der Startindex der Folge aus? Für die Konvergenz der Folge ist es übrigens ziemlich egal, ob die Folge bei n=1, 5, 7, 56 oder -512 startet, das hat darauf keinen Einfluss. Damit sich das hier nicht so lange zieht (ich gehe jetzt von der Folge $\begin{eqnarray} \left(\frac {2n^2+1}{n(2n+1)}\right)_{n\geq 1} \end{eqnarray}$ aus): $\begin{eqnarray} \left\|\frac {1-n}{n(2n+1)}\right\|=\frac{\|1-n\|}{\|n(2n+1)\|}=\frac {n-1}{n(2n+1)}\leq \frac{n}{n(2n+1)} \end{eqnarray}$ . Damit lässt sich etwas kürzen und der weitere Nachweis verläuft dann analog zum Nachweis der Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray} \left(\frac 1n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ .
14.01.2012, 16:11	WernerW	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal. Müsste es nicht heißen $\begin{eqnarray} \frac{n-1}{n(2n+1)} \geq \frac{n-\frac{1}{2}n}{n(2n+1)} \end{eqnarray}$ für n \geq 2
14.01.2012, 16:42	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hab ich zwei verschiedene Ansätze verbunden, was zu einem Fehler führte. Natürlich wäre die Abschätzung nur in diese Richtung korrekt, aber für das weitere Vorgehen nutzlos. Habe es oben korrigiert.
14.01.2012, 16:56	WernerW	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt für alle $\begin{eqnarray} n>\frac{1}{2\epsilon}-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ gilt die Anfangsbedingung und damit ist die Behauptung gezeigt?
14.01.2012, 17:05	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ beliebig gewählt war, folgt damit die Konvergenz.

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