Schluss im Beweis unklar - sqrt(2) irrational

12.01.2012, 14:44

Christian_P

Schluss im Beweis unklar - sqrt(2) irrational

Folgender Schluss taucht in einem Beweis über die Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ auf.

with the comment: It is easy to see that then we must have

$\begin{eqnarray*} p^2=2q^2\quad \Rightarrow \quad \left( 2q-p\right)^2=2\left(p-q\right)^2 \end{eqnarray*}$

da tauchen bei mir einige Fragezeichen auf verwirrt

Wie soll das zusammenhängen? Hat jemand eine Idee?

EDIT: Wenn ich beide Gleichungen voneinander subtrahiere erhalte ich

$\begin{eqnarray*} -4q^2=-2p^2\quad \rightarrow \quad 2q^2=p^2 \end{eqnarray*}$

12.01.2012, 14:54

Cel

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Hallo,

na, lös doch mal beide Seiten nach dem Folgepfeil auf und du kannst sehen, dass sie gleich sind.

Edit: Das, was du da machst, stimmt, wäre aber die Richtung $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ .

12.01.2012, 15:15

Christian_P

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Hi, danke für den Tipp

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\begin{align*} (2q-p)^2& =2(p-q)^2 \\ 4q^2-4pq+p^2& =2(p^2-2pq+q^2) \\ 4q^2-4pq+p^2& =2p^2-4pq+2q^2 \\ 4q^2+p^2& =2p^2+2q^2 \\ p^2& =2q^2 \end{align*}\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Stimmt smile

Wie baut man das auf, auf beiden Seiten werden doch vollständige Quadrate aufgebaut.
Gehe ich da einfach die Schritte wieder zurück? So ganz klar ist mir das noch nicht.

12.01.2012, 15:23

Cel

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Wie man das aufbaut? Meinst du, wie man das sieht? Mach dir darüber keine Gedanken, dort steht, dass man das zeigen kann bzw. dass es folgt. Das Herleiten ist hier nicht deine Sache. Augenzwinkern

12.01.2012, 17:10

Christian_P

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Ja großer Meister Big Laugh

Ein Mathestudent muss das herleiten können?

Da ist noch ein weiterer Schritt im Beiweis, den ich nicht ganz verstehe:

$\begin{eqnarray*} \left( 2q-p\right)^2=2\left(p-q\right)^2 \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{2q-q}{p-q}\right)^2=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2q-q}{p-q} \end{eqnarray*}$ ist demnach ein anderer Bruch, der dieselbe Eigenschaft wie $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ hat.

bis hierhin verstehe ich's

aber jetzt:

$\begin{eqnarray*} q<p<2q \quad \rightarrow \quad p-q<q \end{eqnarray*}$

Woran kann man sehen, das diese Ungleichung gilt? Aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} p^2=2q^2 \end{eqnarray*}$ kann ich erkennen, das $\begin{eqnarray*} q<p \end{eqnarray*}$ ist.
Woran erkenne ich das auch $\begin{eqnarray*} p<2q \end{eqnarray*}$ gilt?
Ich sehe das gerade nicht.

Nach der Aussage oben existiert dann also ein weiterer Bruch der die gleiche Eigenschaft hat wie $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ hat, dessen Nenner aber kleiner ist, da $\begin{eqnarray*} p-q<q \end{eqnarray*}$ .

Das widerspricht der Annahme, das $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ teilerfremd ist.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \quad \left(\frac{p}{q}\right)^2=2 \end{eqnarray*}$ kann nicht zutreffen.

$\begin{eqnarray*} \text{q.e.d} \end{eqnarray*}$

13.01.2012, 19:53

Math1986

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Zitat:

Original von Christian_P
$\begin{eqnarray*} \left( 2q-p\right)^2=2\left(p-q\right)^2 \quad \Rightarrow \quad \left(\frac{2q-q}{p-q}\right)^2=2 \end{eqnarray*}$

Ja, denn es ist
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{2q-q}{p-q}\right)^2=\frac{\left(2q-q\right)^2}{\left(p-q\right)^2}=\frac{2\left(p-q\right)^2}{\left(p-q\right)^2}=2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Christian_P
aber jetzt:

$\begin{eqnarray*} q<p<2q \quad \rightarrow \quad p-q<q \end{eqnarray*}$

Woran kann man sehen, das diese Ungleichung gilt? Aus der Gleichung $\begin{eqnarray*} p^2=2q^2 \end{eqnarray*}$ kann ich erkennen, das $\begin{eqnarray*} q<p \end{eqnarray*}$ ist.
Woran erkenne ich das auch $\begin{eqnarray*} p<2q \end{eqnarray*}$ gilt?
Ich sehe das gerade nicht.

Konzentrier dich nur auf folgende Ungleichung und zieh in jedem Term $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ab:
$\begin{eqnarray*} q<p<2q \Rightarrow q-q<p-q<2q-q \Rightarrow p-q<q \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Christian_P
Nach der Aussage oben existiert dann also ein weiterer Bruch der die gleiche Eigenschaft hat wie $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ hat, dessen Nenner aber kleiner ist, da $\begin{eqnarray*} p-q<q \end{eqnarray*}$ .

Das widerspricht der Annahme, das $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ teilerfremd ist.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \quad \left(\frac{p}{q}\right)^2=2 \end{eqnarray*}$ kann nicht zutreffen.

$\begin{eqnarray*} \text{q.e.d} \end{eqnarray*}$

Der Rest ist klar soweit?

13.01.2012, 21:07

Christian_P

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Hallo! Danke für die Hilfe!

Der Rest des Beweises ist mir klar.

Nochmal zu der Ungleichung;

$\begin{eqnarray*} q<p<2q \quad \rightarrow \quad p-q<q \end{eqnarray*}$

Die Umwandlung ist mir klar, aber ich sehe nicht, wie man aus den Gegebenheiten auf diese Ungleichung kommen kann.
D.h., Woran sieht man, dass diese Ungleichheit in der Form besteht?

Den Schritt;

$\begin{eqnarray*} p^2=2q^2 \quad \rightarrow \quad (2q-p)^2=2(p-q)^2 \end{eqnarray*}$

Kann ich zurückverfolgen, aber die "Konstruktion" (in Pfeilrichtung), scheint mir schwierig und nicht einleuchtend zu sein.

Grüße

13.01.2012, 21:29

Math1986

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Zitat:

Original von Christian_P
Nochmal zu der Ungleichung;

$\begin{eqnarray*} q<p<2q \quad \rightarrow \quad p-q<q \end{eqnarray*}$

Die Umwandlung ist mir klar, aber ich sehe nicht, wie man aus den Gegebenheiten auf diese Ungleichung kommen kann.
D.h., Woran sieht man, dass diese Ungleichheit in der Form besteht?

Nimmt man an, dass $\begin{eqnarray*} p\geq 2q \end{eqnarray*}$ ist, so erhält man den Widerspruch
$\begin{eqnarray*} 2=\left(\frac pq\right)^2\geq\left(\frac{2q}{q}\right)^2=2^2=4 \end{eqnarray*}$
So kann man auch $\begin{eqnarray*} p<q \end{eqnarray*}$ begründen, oder so, wie du es gezeigt hast.

Zitat:

Original von Christian_P
Den Schritt;

$\begin{eqnarray*} p^2=2q^2 \quad \rightarrow \quad (2q-p)^2=2(p-q)^2 \end{eqnarray*}$

Kann ich zurückverfolgen, aber die "Konstruktion" (in Pfeilrichtung), scheint mir schwierig und nicht einleuchtend zu sein.

Es ist:

$\begin{eqnarray*} \left( 2q-p\right)^2=4q^2-4pq+p^2\underbrace{=}_{(*)} 2p^2-4pq+2q^2=2\left(p-q\right)^2 \end{eqnarray*}$
In (*) wird die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} p^2=2q^2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

15.01.2012, 13:04

Christian_P

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Zitat:

Das verstehe ich noch nicht ganz;
Die Annahme, dass; $\begin{eqnarray*} p\geq 2q \end{eqnarray*}$ sein soll, ist mir klar,
aber woher hast du den Term $\begin{eqnarray*} \left(\frac{2q}{q}\right)^2 \end{eqnarray*}$ genommen?
Hast du dir den "zusammengebaut"?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left( 2q-p\right)^2=4q^2-4pq+p^2\underbrace{=}_{(*)} 2p^2-4pq+2q^2=2\left(p-q\right)^2 \end{eqnarray*}$
In (*) wird die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} p^2=2q^2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

Wo wird die Voraussetzung eingesetz? $\begin{eqnarray*} 4q^2-4pq+p^2\underbrace{=}_{(*)} 2p^2-4pq+2q^2 \end{eqnarray*}$ ; für die beiden Terme links und rechts?

Grüße Wink

16.01.2012, 12:30

Math1986

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Zitat:

Original von Christian_P
Hi

Zitat:

Nach Vorraussetzung gilt doch, dass $\begin{eqnarray*} 2=\left(\frac pq\right)^2 \end{eqnarray*}$
Da setze ich dann die Gegenannahme $\begin{eqnarray*} q\geq 2p \end{eqnarray*}$ ein und führe dies zu einem Widerspruch.

Du kannst dir auch leicht überlegen, dass $\begin{eqnarray*} 1<\sqrt 2< 2 \end{eqnarray*}$ gilt, also $\begin{eqnarray*} 1<\frac pq< 2 \end{eqnarray*}$ , damit folgt auch, dass $\begin{eqnarray*} q< p< 2p \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Christian_P

Zitat:

Wo wird die Voraussetzung eingesetz? $\begin{eqnarray*} 4q^2-4pq+p^2\underbrace{=}_{(*)} 2p^2-4pq+2q^2 \end{eqnarray*}$ ; für die beiden Terme links und rechts?

Links verwende ich, dass $\begin{eqnarray*} 4q^2=2p^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p^2=2q^2 \end{eqnarray*}$ gilt, das habe ich in den linken Term eingesetzt und erhalte so den rechten Term.

16.01.2012, 14:29

Christian_P

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Zitat:

Du kannst dir auch leicht überlegen, dass $\begin{eqnarray*} 1<\sqrt 2< 2 \end{eqnarray*}$ gilt, also $\begin{eqnarray*} 1<\frac pq< 2 \end{eqnarray*}$ , damit folgt auch, dass $\begin{eqnarray*} q< p< 2p \end{eqnarray*}$

Ja, genau, daran hatte ich auch schon gedacht;

Naja so ganz hab ich die Schritte noch nicht drauf, aber es wird immer besser mit dem Verständnis Augenzwinkern

Du studierst sicherlich Mathe? Da muss man soetwas dann irgendwann wie im Schlaf können?

Grüße

16.01.2012, 15:20

Math1986

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Ja, ich studiere Mathe, irgendwann kann ich bestimmte Rechnungen schon nicht mehr sehen Augenzwinkern

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