Vektoranalysis: Volumenform

12.01.2012, 15:17	Jensen23	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoranalysis: Volumenform Hallo Leute, ich habe eine Frage zum Thema Volumenform. ich wähle einfach mal den Fall n=3. Also, im lR³ sei dann also eine Mannigfaltigkeit gegeben (Fläche). Folgende Gleichungen leitet man dann (separat) her: (A) $\begin{eqnarray} \Omega(x) = n^1(x) dx^2 \wedge dx^3 - n^2(x) dx^1 \wedge dx^3 + n^3(x) dx^1 \wedge \end{eqnarray}$ (B) $\begin{eqnarray} n^1(x) \Omega(x) = dx^2 \wedge dx^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^2(x) \Omega(x) = -dx^1 \wedge dx^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^3(x) \Omega(x) = dx^1 \wedge dx^2 \end{eqnarray}$ wobei n der Normalenvektor zur Fläche ist! ------------------------------------------------------------------------------------------- Meine Frage: (A) und (B) implizieren doch dann z.B. $\begin{eqnarray} n^1(x) \cdot (n^1(x) dx^2 \wedge dx^3 - n^2(x) dx^1 \wedge dx^3 + n^3(x) dx^1) = dx^2 \wedge dx^3 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} n^1(x) \cdot n^1(x) = 1 \text{ und } n^i(x) \cdot n^j(x) = 0, \text{ falls } i \ne j \end{eqnarray}$ und eben das kann ich mir sehr schlecht vorstellen. Stimmt das?
12.01.2012, 17:05	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Zu A: da fehlt am ende ein dx^2 und ja diese Gleichungen zusammen implizieren das was du behauptest. Jedoch sagst du aber schon im voraus, dass n der Normalenvektor sein soll, aber dann weisst du diese Aussagen ja auch schon vorher ... mfg
12.01.2012, 18:26	Jensen23	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die Antwort! ja, da fehlt was am ende. ja genau, die wahrheit dieser aussage ist für mich sehr verwirrend. Anschaulich (Normal-vektor) kann ich mir das einfach nicht erklären! Wieso kann ich folgern, wenn ich weiß, dass n normal zur fläche ist und normiert, dass dann n1n1 = 1 und n1n2 = 0 und n1*n3 = 0 ? so ganz klar ist mir das nicht
12.01.2012, 18:53	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sorry habe beim lesen von Normalenvektor direkt an Orthonormal gedacht und die Gleichungen sahen dann so aus. Beim genaueren hingucken fallen mir folgende Sachen auf: 1. Bei der (B) in der zweiten Zeile sollte wohl ein $\begin{eqnarray} -dx^1 \wedge dx^3 \end{eqnarray}$ stehen? 2. Deine Folgerung wäre problematisch, denn $\begin{eqnarray} n^1(x)n^1(x) = 1 \end{eqnarray}$ impliziert $\begin{eqnarray} n^1(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} n^1(x) n^2(x) = n^1(x)n^3(x) = 0 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} n^2(x) = n^3(x) = 0 \end{eqnarray}$ Dieses würde jedoch $\begin{eqnarray} n^2(x)n^2(x) = n^3(x) n^3(x) = 1 \end{eqnarray}$ wiedersprechen. Als Lösung vermute ich jetzt den nächsten Punkt mal 3. Habe angenommen, dass wie häufig dx^1, dx^2, dx^3 eine Basis des Cotangentialraumes bilden, also zumindest lokal. Da du hier jedoch von einer Fläche, also was zweidimensionalem, sprichst, ist dieses nicht richtig. Da ich Differentialgeo. in einer etwas anderen Form kennengelernt habe wäre also meine Bitte. Könntest du den Kontext etwas präzisieren, also zumindest die Bezeichnungen und so? Zum Beispiel was ist bei dir Omega? Zu den x^i würde ich vermuten, dass dieses die Standard Koordinaten des eukld. Raumes sind, welche jedoch lokal jeweils in Beziehung zueinander stehen, sprich z.b. $\begin{eqnarray} x^3(x^1, x^2) \end{eqnarray}$ oder ähnliches mfg
12.01.2012, 19:10	Jensen23	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo sergej, ja danke für die Hilfe. Ja bei (B) war wieder ein Schreibfehler, sorry. Also an dem Punkt hänge ich ja auch. also ich habe den $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und eine $\begin{eqnarray} (n-1) \end{eqnarray}$ -dimensionale Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ . Die Volumenform $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist eine Differentialform auf der Mannigfaltigkeit und misst sozusagen das k-dimensionale Volumen der Mannigfaltigkeit lokal. D.h. $\begin{eqnarray} \Omega(x) \end{eqnarray}$ nimmt $\begin{eqnarray} (n-1) \end{eqnarray}$ Vektoren aus dem Tangentialraum $\begin{eqnarray} T_x S \end{eqnarray}$ und ist so definiert, dass für orthonormale $\begin{eqnarray} \xi_1, \dots, \xi_{n-1} \end{eqnarray}$ den Wert 1 gibt. Also: \Omega(x)[\xi_1, \dots, \xi_{n-1}] = 1. Das kann man z.B. so erreichen: $\begin{eqnarray} \Omega(x)[\xi_1, \dots, \xi_{n-1}] := Vol_{\mathbb R^n} [n(x),\xi_1, \dots, \xi_{n-1}]<br /> = det(n(x),\xi_1, \dots, \xi_{n-1}) <br /> = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \cdot n(x) \cdot dx^1 \wedge \dots \wedge \not{dx^j} \wedge \dots \wedge dx^{n} \end{eqnarray}$ Von daher kommt ja meine Formel (A). Und die Formel (B) kriegt man auch aus geometrischer Betrachtung. Die sind glaube ich alle richtig. Nur bin ich verwirrt mit dem, was sie implizieren! Ein bild dazu habe ich hier: zuly.de/img/volumenform4f0f221124d33.png
12.01.2012, 19:47	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, jetzt weiss ich was gemeint ist. ICh sehe dennoch das Problem darin, dass deine $\begin{eqnarray} dx^1, \dots dx^n \end{eqnarray}$ keine Basis von $\begin{eqnarray} T_x^S \end{eqnarray}$ bilden. Und damit muss also nicht gelten, dass aus $\begin{eqnarray} <br /> \sum \limits_{j=1}^{n}a_jdx^1 \wedge \dots \wedge \hat{dx^j} \wedge \dots \wedge dx^n = 0<br /> \end{eqnarray}$ eben $\begin{eqnarray} a_j = 0, \ \ j = 1, \dots n \end{eqnarray*}$ folgt. Dazu müsstest du wohl lokale Koordinaten nehmen und die Volumenform in diesen Ausdrücken, aber dann hat diese auch nicht mehr die von dir angegebene Form. Hilft das ? mfg Edit: falls jemand Fehler oder ähnliches sieht bitte sagen, habe solche Betrachtungen damals anders kennengelernt...
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