komplexe zahlen (Teil 2)

12.01.2012, 17:14

hollister

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Komplexe Zahlen

Hallo zusammen,

ich hänge mal wieder an einer Aufgabe bei den komplexen Zahlen

aufgabe heisst berechnen sie 4+iwurzel5/wurzel5-4i in der allgemeinen form(d.h. a+ib)

mein Ansatz ist jetzt

z1/z2 = z1*z2=

a1a2+b1b2/a2^2+b2^2 + i -a1b2+a2b1/a2^2+b2^2

= (4+i sqrt5)*(sqrt5*4i)/(sqrt5-4i)*(sqrt5-4i)
=(4*sqrt5)+(4*sqrt i^2)/5+(-16) + i -16i+5i/5+(-16)

jetzt meine frage ist der ansatz richtig oder habe ich schon irgendwo ein fehler eingebaut??

gruß hollister

12.01.2012, 17:22

fleurita

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RE: Komplexe Zahlen
nur als kleine anmerkung, das ist sehr schwer zu lesen smile

smile

weißt wie das mit dem formeleditor geht? http://www.matheboard.de/formeleditor.php

12.01.2012, 17:24

hollister

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nein ich versuch es mal danke

12.01.2012, 17:27

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von hollister
ich hänge mal wieder an einer Aufgabe bei den komplexen Zahlen

Ein neuer Thread wäre in diesem Fall besser gewesen. Aber sei's drum...

Zitat:

Original von hollister
berechnen sie 4+iwurzel5/wurzel5-4i in der allgemeinen form(d.h. a+ib)

Hier fehlen wahrscheinlich ein paar Klammern. Ich schreib's mal so hin, wie ich's verstehe:

$\begin{eqnarray*} \frac {4 + i\sqrt 5}{\sqrt 5 - 4i} \end{eqnarray*}$

Dein Ansatz, mit $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 - 4i \end{eqnarray*}$ zu erweitern (wenn ich's richtig verstanden habe, da geistert irgendwo ein * statt einem + herum), wird Dich leider nicht frohmachen, denn der Nenner bleibt komplex.

Erweitere mal stattdessen mit $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 + 4i \end{eqnarray*}$ . Das ist der konjugiert komplexe Nenner und ein altes Küchenrezept, um so einen Term zu knacken.

Viele Grüße
Steffen

12.01.2012, 17:35

hollister

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sorry aber dachte es würde passen.

(4+i\sqrt5)*(\sqrt5+4i)/(\sqrt5-4i)*(\sqrt5+4i)

sieht das besser aus??

12.01.2012, 17:43

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von hollister
(4+i\sqrt5)*(\sqrt5+4i)/(\sqrt5-4i)*(\sqrt5+4i)

Wenn Du jetzt noch vor das Ganze

code:
1:	[latex]

und dahinter

code:
1:	[/latex]

schreibst, bist Du auf einem guten Weg. Die Brüche üben wir später.

Aber zum Thema:

Erinnert Dich der Nenner nicht an die dritte binomische Formel? Wende sie mal an.

Viele Grüße
Steffen

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12.01.2012, 17:44

hollister

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$\begin{eqnarray*} (4+i\sqrt5)*(\sqrt5+4i)/(\sqrt5-4i)*(\sqrt5+4i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4*\sqrt5)+(i\sqrt5*4i)/\sqrt5*\sqrt5+(-4i)^2 + i -(4*4i)+(\sqrt5*\sqrt5*i)/\sqrt5*\sqrt5+(-4i)^2 \end{eqnarray*}$

12.01.2012, 18:12

hollister

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als Ergebniss bekomme ich

$\begin{eqnarray*} -8\sqrt5-10i \end{eqnarray*}$

12.01.2012, 18:22

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von hollister
$\begin{eqnarray*} (4+i\sqrt5)*(\sqrt5+4i)/(\sqrt5-4i)*(\sqrt5+4i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (4*\sqrt5)+(i\sqrt5*4i)/\sqrt5*\sqrt5+(-4i)^2 + i -(4*4i)+(\sqrt5*\sqrt5*i)/\sqrt5*\sqrt5+(-4i)^2 \end{eqnarray*}$

Du hast Dich verlaufen, fürchte ich. Es ist viel einfacher. Vielelicht liegt's auch an den immer noch fehlenden Klammern (bittebitte!), aber das sieht noch sehr falsch aus.

Erstmal der Zähler. Da steht ein Ausdruck wie (a+bi)(c+di). Und, wie wir's kennen und lieben: jedes Glied der ersten Klammer mal jedes Glied der zweiten Klammer: ac+ adi + bic + bidi. Was i*i ist, weißt Du, so kannst Du jetzt Real- und Imaginärteile zusammenfassen.

Beim Nenner steht dagegen (a-bi)(a+bi). Und der dritte Binom verrät uns, daß das a² - (bi)² ist. Und wir erinnern uns noch einmal, was i² ist.

Und das war's schon.

Viele Grüße
Steffen

12.01.2012, 18:45

hollister

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ich habe jetzt den Zähler ausmultipliziert und bekomme 21i+7*wurzel5

beim Nenner habe ich die 3.binomische Formel angewendet und bekomme
21heraus

ich hoffe ich habe es jetzt richtig ansosnsten steh ich total aufm schlauch wirklich

13.01.2012, 08:35

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von hollister
ich habe jetzt den Zähler ausmultipliziert und bekomme 21i+7*wurzel5

21i paßt, aber beim Realteil stimmt was nicht. Rechne

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot \sqrt 5 + i \cdot \sqrt 5 \cdot 4 \cdot i \end{eqnarray*}$

noch einmal aus.

Zitat:

Original von hollister
beim Nenner habe ich die 3.binomische Formel angewendet und bekomme
21heraus

Richtig!

Viele Grüße
Steffen

13.01.2012, 11:59

hollister

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als Ergebniss bekomme ich 0 heraus.

13.01.2012, 12:02

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von hollister
als Ergebniss bekomme ich 0 heraus.

Wenn Du den Realteil im Zähler meinst: richtig. Du kannst somit auch das Gesamtergebnis angeben. Und?

Du siehst: Du kommst gut zurecht mit den komplexen Zahlen.

Viele Grüße
Steffen

13.01.2012, 12:04

hollister

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was ich aber nicht verstehe ist ich habe den zähler mit wurzel 5+4i erweitert.

du hast mir jetzt aber als Tipp geschrieben wurzel 5*4*i warum ist das so??

sorry ich will es einfach nur verstehen dann muss ich es nicht mehr lernen

Gruß

13.01.2012, 12:45

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von hollister
ich habe den zähler mit wurzel 5+4i erweitert.

du hast mir jetzt aber als Tipp geschrieben wurzel 5*4*i warum ist das so??

Wo soll ich diesen Tipp gegeben haben? Ich hab Dir empfohlen, mit $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 + 4i \end{eqnarray*}$ zu erweitern. Mit $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \cdot 4 \cdot i \end{eqnarray*}$ zu erweitern, ist relativ sinnfrei.

Viele Grüße
Steffen

EDIT: Wurzel vergessen

13.01.2012, 13:27

hollister

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das Gesamtergebniss ist dann 21i!

ich hänge aber noch immer etwas Sorry das ich dich nerve wirklich !

ausgangslage wissen wir ja

ich erweitere meinen zähler mit $\begin{eqnarray*} \sqrt5+4i \end{eqnarray*}$

habe dann in meinem zähler stehen

$\begin{eqnarray*} (4+i*\sqrt5)*(\sqrt5+4i) \end{eqnarray*}$

nenner habe ich keine Probleme mehr.

multipliziere jetzt meinen Zähler aus.

jetzt meine frage wie kommst du dann auf
$\begin{eqnarray*} 4*\sqrt5+i*\sqrt5*4*i \end{eqnarray*}$

da hänge ich aktuell

13.01.2012, 13:37

hollister

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da müsste doch jetzt eigentlich

$\begin{eqnarray*} (\sqrt5*4)+i*(\sqrt5*4+i) \end{eqnarray*}$ stehen oder??

13.01.2012, 14:05

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von hollister
das Gesamtergebniss ist dann 21i!

Das ist nur der Zähler, nicht das Gesamtergebnis. Den Nenner hast Du ja schon richtig berechnet. Also?

Zitat:

Original von hollister
$\begin{eqnarray*} (4+i*\sqrt5)*(\sqrt5+4i) \end{eqnarray*}$

multipliziere jetzt meinen Zähler aus.

Ja. Das geht wie bei (a+b)*(c+d). Nicht Realteil und Imaginärteil getrennt, wie Du wohl zu denken scheinst, sondern wie immer: ac+ad+bc+bd. Also

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot \sqrt 5 + 4 \cdot 4i + ... \end{eqnarray*}$

Schreib's mal in Ruhe auf, dann siehst Du's.

Viele Grüße
Steffen

13.01.2012, 15:06

hollister

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Endergebniss 1i?!

Vielen dank fuer die hilfe steffen

13.01.2012, 15:11

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von hollister
1i?

Ja, oder einfach i.

Zitat:

Original von hollister
Vielen dank fuer die hilfe steffen

Keine Ursache.

Viele Grüße
Steffen

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