Grenzwert begründen? Näherungsfunktion?

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14.01.2007, 12:02

mys

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Grenzwert begründen? Näherungsfunktion?

Hallo

Ich hab mal wieder zwei kleine Problemchen.. geschockt

1. gegeben ist folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Begründen sie folgenden Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} A=\lim_{t \to \infty } (\int_{-t}^{t}~f(x)~dx ) = 1 \end{eqnarray*}$

Wie geht das? Was muss ich da machen?

Das andere Problem kommt später..

Hilfe wäre wie immer super Augenzwinkern

LG, mys

14.01.2007, 12:12

Bjoern1982

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Hi

Integriere zuerst einmal f(x) durch die Substitution e^x=u

Am Schluss führst du dann die Grenzwertbetrachtung durch (uneigentliches Integral) und kommst auf 1, was beweist, dass f(x) eine Dichtefunktion ist...oder wie war das verwirrt

Gruß Björn

14.01.2007, 12:16

Leopold

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Ich würde eher $\begin{eqnarray*} u = \operatorname{e}^x + 1 \end{eqnarray*}$ vorschlagen. Macht aber nicht viel aus ...

14.01.2007, 12:22

mys

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ähhmm....

wie integriere ich denn f(x) durch die Substitution e^x=u

das sagt mir gerade nicht wirklich was...

Und was ist eine Grenzwert betrachtung? was macht man denn da genau?
(uneigentliche Integrale sagt mir aber was!)

Danke schonmal, mys

14.01.2007, 12:45

Bjoern1982

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Hattet ihr noch keine Integration durch Substitution?

Wie man sonst eine Stammfunktion finden sollte wüsste ich dann auch nicht...

Also du musst jedes e^x durch u ersetzen und dann noch $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=e^x \end{eqnarray*}$ mit einbauen um auch dx zu ersetzen.

Darüberhinaus ergeben sich auch neue Grenzen ----> einfach x=t bzw x=-t in e^x=u einsetzen.

Sobald du alles substituiert hast liegt ein relativ einfach zu integrierender Term vor, mit dem du dann fortfahren kannst.

Mit Grenzwertbetrachtung meine ich das mit dem Limes Augenzwinkern

Gruß Björn

14.01.2007, 16:14

mys

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kann schon sein, dass wir das mal hatten, vielleicht kann ich mich nur nicht mehr daran erinnern?!

also wenn ich jedes e^x durch u ersetze, komm ich auf folgende Formel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{u}{(u+1)^{2} } \end{eqnarray*}$

aber wie/wo soll ich denn jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = e^{x} \end{eqnarray*}$ einbauen??

Und wie soll ich t und -t in e^x=u einsetzten, wenn es da nur noch u steht???

Hilfe verwirrt

14.01.2007, 16:37

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = e^{x} <=> du=e^xdx \end{eqnarray*}$

Und wenn man für x in e^x=u den Wert t bzw -t einsetzt enstehen die neuen Grenzen e^t bzw e^-t

Somit folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{-t}^{t}~\frac{e^x}{(e^x+1)^2} ~dx = \int_{-t}^{t}~\frac{1}{(e^x+1)^2} \cdot e^x ~dx =\int_{e^{-t}}^{e^t}~\frac{1}{(u+1)^2} ~du \end{eqnarray*}$

Kannst du das nachvollziehen ?

14.01.2007, 17:00

mys

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ja, ich kanns nachvollziehen soweit =)

Aber Derive rechnet mir das ja auch ohne diese Substitution so aus..

aber wo is denn da jetzt die Begründung?? Also.. warum kommt denn 1 raus?

14.01.2007, 17:03

Bjoern1982

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Wenn du das Integral nun allgemein löst und am Ende t gegen unendlich laufen lässt kommt tatsächlich 1 raus.

Gruß Björn

14.01.2007, 17:08

mys

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ja... aber was ist jetzt die Begründung??
Oder is die Begründung einfach die rechnung?
(Aufgabe war ja ""Begründen sie folgenden Grenzwert")

14.01.2007, 17:08

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Zitat:

Original von mys
Aber Derive rechnet mir das ja auch ohne diese Substitution so aus..

Na dann hoffen wir mal, dass du immer derive dabei hast, wenn du was integrieren musst. smile

14.01.2007, 17:11

Bjoern1982

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Klar, wenn am Ende 1 rauskommt ist die Rechnung bzw die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung kombiniert mit einer Grenzwertbetrachtung, da es sich hier um ein uneigentliches Integral handelt, ja durchaus ein Beweis.

Gruß Björn

14.01.2007, 17:21

mys

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mhh.. okay... dankeschön =)

@ Arthur Dent: was heißt schon immer wenn ich was integrieren muss^^ das muss ich nur nächste Woche in der Mathe-Vor-Abi-Klausur und dann im März beim schriftlichen Abi, und da müssen/sollen wir mit Derive rechnen Augenzwinkern

dann komm ich ma zu meinem 2. Problemchen...

wie kann ich f(x) durch Streckung und stauchung der Gaussschen Phi-Funktion annähern? Und wie komme ich auf die zugehörige "Näherungsfunktion"???

Das einzige was ich bisher hinbekommen habe, ist $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x} }{(e^{x}+1)^{2} } *1,6 \end{eqnarray*}$ , damit hatte f(x) dann den Höhepunkt schonmal an gleicher Stelle wie die Phi-Funktion... aber weiter hab ich keine ahnung unglücklich

Hilfe? *liebguck*

14.01.2007, 17:28

derkoch

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Zitat:

Original von mys
mhh.. okay... dankeschön =)

@ Arthur Dent: was heißt schon immer wenn ich was integrieren muss^^ das muss ich nur nächste Woche in der Mathe-Vor-Abi-Klausur und dann im März beim schriftlichen Abi, und da müssen/sollen wir mit Derive rechnen Augenzwinkern

OT: Hach, schön wie sich die Zeiten ändern! smile

Bei mir durfte ich nur einen einfachen, nicht programmierbarer Taschenrechner benutzen, welcher eine Woche vorm Abi eingesammelt und kontrolliert wurde. smile

14.01.2007, 17:33

mys

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Ja.. ich glaube aber, so oft gibts das noch nicht. Unser Lehrer ist eben recht fortschritlich (und u.a. Informatiklehrer).. der andere LK in meinen Jahrgang machts noch ohne Derive.
Allerdings bin ich sehr gespannt wie die das beim Abi machen wollen.. wenn wir dann in der Aula oder sonstwo schreiben und die für jeden von uns nen PC da hinschleppen müssen und alles einrichten müssen etc. Da wette ich schonmal, dass es irgendwelche Pannen geben wird *lol*

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