Anzahl der Nullen am Ende von n!

12.01.2012, 19:17

Anna071990

Anzahl der Nullen am Ende von n!

Meine Frage:
Ich soll beweisen, dass die Anzahl der Nullen am Ende der Zahl n! immer gleich $\begin{eqnarray*} \frac{n}{5} \end{eqnarray*}$ ist. Für alle n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Dass das so ist, ist mir klar und wieso das so ist eigentlich auch. Hab auch schon einige Beispiele dazu gemacht. Aber wie beweise ich das allgemein? Für einen kleinen Tipp wäre ich dankbar. Hatte auch schon an vollständige Induktion gedacht...aber auch da weiß ich nicht wie das gehen sollte..

12.01.2012, 19:27

Leopold

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Diese Zahl ist sicher noch zur nächstgelegenen ganzen Zahl abzurunden. Und dennoch ...

$\begin{eqnarray*} 25! = 15511210043330985984000000 \end{eqnarray*}$

12.01.2012, 20:13

Anna071990

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hmm.... sicher dass das 6 Nullen sind? dann ist das damit wohl widerlegt..
Wir haben allerdings ganz klar von unserem Dozenten die Aufgabe das zu beweisen! Und müssen dann sogar dazu noch was schreiben (einem 7.Klässler verständlich erklären, wieso das gilt.) aber wenn das gar nicht gilt?

12.01.2012, 20:16

HAL 9000

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Falls du es nicht gemerkt haben solltest: Leopold hat dir ein Gegenbeispiel genannt. D.h., die Behauptung

Zitat:

Original von Anna071990
Ich soll beweisen, dass die Anzahl der Nullen am Ende der Zahl n! immer gleich $\begin{eqnarray*} \frac{n}{5} \end{eqnarray*}$ ist. Für alle n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

ist falsch, selbst dann, wenn man $\begin{eqnarray*} \frac{n}{5} \end{eqnarray*}$ durch den Ganzzahlanteil $\begin{eqnarray*} \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ ersetzt.

EDIT: Ok, hast es inzwischen gemerkt. Dann hau es deinem Dozenten mal links und rechts um die Ohren - so hier: Forum Kloppe

12.01.2012, 20:24

Anna071990

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Okay, danke smile

Find ich ja lustig, vor allem weil die Aufgabe ja noch weitergeht und ich das somit auch nicht machen muss Big Laugh

12.01.2012, 20:29

HAL 9000

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Die genaue Anzahl Nullen am Ende von $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ ist übrigens gleich $\begin{eqnarray*} \frac{n-Q_5(n)}{4} \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} Q_5(n) \end{eqnarray*}$ die Quersumme der im 5er-System darstellten Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ - obiges Beispiel:

$\begin{eqnarray*} n = [25]_{10} = [100]_5 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} Q_5(25)=1 \end{eqnarray*}$ und damit dann $\begin{eqnarray*} \frac{n-Q_5(n)}{4} = \frac{25-1}{4} = 6 \end{eqnarray*}$ .

12.01.2012, 20:35

Anna071990

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Vielen Dank, ihr seit super. Vielleicht schreib ich das dazu, wenn ich mein Übungsblatt abgebe Augenzwinkern

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