Beweis - Lösungen einer algebraischen Gleichung

12.01.2012, 19:25

Christian_P

Beweis - Lösungen einer algebraischen Gleichung

Es sei

$\begin{eqnarray*} x^n+p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+...+p_n=0 \end{eqnarray*}$

irgendeine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.

zeige, wenn $\begin{eqnarray*} p_n=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_1+p_2+...+p_n \ne -1 \end{eqnarray*}$

dann kann die Gleichung keine rationale Wurzel haben.

Mein Ansatz:

Ausgehend von:

$\begin{eqnarray*} x^n+p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+...+1=0 \end{eqnarray*}$

angenommen eine Lösung sei $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$

nach Multiplikation der Gleichung mit $\begin{eqnarray*} b^{n-1} \end{eqnarray*}$

ergibt sich nach Umformungen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{a^n}{b}=p_1a^{n-1}+p_2a^{n-2}b+...+b^{n-1} \end{eqnarray*}$

ein Bruch gleich einer ganzen Zahl -> Widerspruch -> $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^n+p_1a^{n-1}+p_2a^{n-2}+...+1=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich also nur noch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als mögliche rationale Lösung, und diese muss ganzzahlig sein

Wie kann ich jetzt $\begin{eqnarray*} p_1+p_2+...+p_n \ne -1 \end{eqnarray*}$ einbauen und zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auch keine Lösung sein kann?

Hab ihr einen Tipp?

Ich hab es versucht mit:

teilen durch $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{p_1}{a}+\frac{p_2}{a^2}+...+\frac{1}{a^n}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{p_1}{a}+\frac{p_2}{a^2}+...+\frac{1}{a^n}=-1 \end{eqnarray*}$

aber so richtig wird das nichts verwirrt

Grüße

12.01.2012, 19:34

juffo-wup

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RE: Beweis - Lösungen einer algebraischen Gleichung
Ein Schritt weiter auf deinem Gedankengang aufbauend:

Zitat:

Original von Christian_P
$\begin{eqnarray*} a^n+p_1a^{n-1}+p_2a^{n-2}+...+1=0 \end{eqnarray*}$

Hier kannst du bei allen Summanden bis auf dem letzten, der gleich 1 ist, das a ausklammern. 1 auf die andere Seite gebracht ergibt a teilt -1. D.h. a gleich 1 oder -1.

12.01.2012, 19:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Christian_P
Es sei

$\begin{eqnarray*} x^n+p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+...+p_n=0 \end{eqnarray*}$

irgendeine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.

zeige, wenn $\begin{eqnarray*} p_n=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_1+p_2+...+p_n \ne -1 \end{eqnarray*}$

dann kann die Gleichung keine rationale Wurzel haben.

Irgendwas stimmt da nicht:

$\begin{eqnarray*} x^2+2x+1 = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt alle Voraussetzungen und hat sehr wohl eine rationale Wurzel, nämlich -1. verwirrt

12.01.2012, 19:54

Christian_P

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aaah

dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} a^{n-1}+p_1a^{n-2}+p_2a^{n-3}+...=-\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

Und jetzt die Aussage: $\begin{eqnarray*} a \quad \text{teilt}\quad-1\quad \Leftrightarrow\quad a=1\vee a=-1 \end{eqnarray*}$

meinst du es so?

---------------------------------------------------------------------------------------------
könnte auch auch sagen?

wenn gilt (siehe oben):

$\begin{eqnarray*} \frac{p_1}{a}+\frac{p_2}{a^2}+...+\frac{1}{a^n}=-1 \end{eqnarray*}$

und weiter gilt, dass:

$\begin{eqnarray*} p_1+p_2+...+1=-1 \end{eqnarray*}$

dann muss $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ sein.

Grüße und dankeschön!

12.01.2012, 20:00

Christian_P

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Irgendwas stimmt da nicht:

$\begin{eqnarray*} x^2+2x+1 = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt alle Voraussetzungen und hat sehr wohl eine rationale Wurzel, nämlich -1. verwirrt

Du hast recht: Die Aussage ist nicht ganz vollständig, habe ich nicht richtig abgeschrieben.

Die Gleichung kann keine rationale Lösung haben, die nicht ganzzahlig ist, wenn keine Einschränkungen vorliegen.

So muss es heißen.

Der erste Teil des Beweises zeigt, dass nur ganzzahlige rationale Lösungen in frage kommen. Unter den Zusatzbedingungen kann es dann keine rationale Lösung mehr geben.

Grüße

12.01.2012, 20:02

HAL 9000

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Achso, es geht nur um nichtganzzahlige rationale Lösungen. Eine wichtige Einschränkung. Augenzwinkern

Allerdings braucht man in dem Fall die Voraussetzung d $\begin{eqnarray*} p_1+p_2+...+p_n \ne -1 \end{eqnarray*}$ doch überhaupt nicht, die ist also obsolet.

12.01.2012, 20:12

Christian_P

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Ich bin gerade ein bisschen durcheinander, ich muss mir das nocheinmal genau überlegen.

Oringinal Wortlaut:

Show that if $\begin{eqnarray*} p_n=1 \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} p_1 + p_2+...+ p_n\ne -1 \end{eqnarray*}$ , the equation cannot have a rational root.

Grüße

12.01.2012, 20:37

juffo-wup

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Zitat:

Original von Christian_P
aaah

dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} a^{n-1}+p_1a^{n-2}+p_2a^{n-3}+...=-\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

Und jetzt die Aussage: $\begin{eqnarray*} a \quad \text{teilt}\quad-1\quad \Leftrightarrow\quad a=1\vee a=-1 \end{eqnarray*}$

meinst du es so?

Ich meinte $\begin{eqnarray*} -1=a(a^{n-1}+p_1a^{n-2}+..+p_{n-1}) \end{eqnarray*}$
was nach Definition von Teilbarkeit in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ heißt: a teilt -1.
Aber wie du es aufgerschrieben hast (unter Nutzung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ) geht's natürlich auch.

Die Aufgabenstellung kann tatsächlich nicht stimmen. Man kann aber immerhin noch ausschließen, dass 1 eine Nullstelle sein kann. (Wenn man einfach 1 einsetzt in die Polynomgleichung, erhält man einen Widerspruch.) Einzige rationale Nullstelle kann also -1 sein.

13.01.2012, 15:00

Christian_P

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Schade, dann ist die Aufgabenstellung tatsächlich so nicht korrekt.

$\begin{eqnarray*} x^n+p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+...+p_n=0\quad\quad p_1,p_2,...,p_n \quad\text{sind ganzzahlig} \end{eqnarray*}$

Die Aussage, dass eine solche Gleichung aber nur ganzzahlige oder irrationale Wurzeln haben kann, ist aber gültig?

14.01.2012, 12:41

juffo-wup

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Zitat:

Original von Christian_P
Die Aussage, dass eine solche Gleichung aber nur ganzzahlige oder irrationale Wurzeln haben kann, ist aber gültig?

Ja.

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