Skalarprodukt/Vektorprodukt und lineare (Un)abhängigkeit |
| 14.01.2007, 13:06 | ChaosNo1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Skalarprodukt/Vektorprodukt und lineare (Un)abhängigkeit Ich habe da mal eine Verständnisfrage: Zuerst mal, was ich verstanden habe, bitte berichtigt mich, wenn es falsch ist: 2 Vektoren sind linear abhängig, wenn sich eine Vektoren ein vielfaches des anderen ist und damit parallel (kolinear) sind Also: Sind 2 Vektoren linear unabhängig, spannen sie eine Ebene auf 3 Vektoren sind linear abhängig, wenn gilt: Hier möchte ich gleich mal ein paar Fragen einwerfen: Wenn die 3 Vektoren linear abhänig, also komplanar (oder wie da heisst) sind, heisst das dann dass die vektoren a und b zugleich NICHT linear abhänig sind? Und: Was macht der 3te Vektor bei linearer Abhängigkeit bzw. unabhängigkeit? Spannt er einen Raum auf? oder liegt auch irgendwo in im R2? Meine Vermutung: er spannt bei lineare unabhängikeit einen Raum auf, da er, wenn er in der selben ebene wie a und b liegen würde, sich immer durch diese darstellen lassen könnte. Und: Mal angenommen a und b sind linear abhängig, dass können doch a b und c auch linear abhängig werden, wenn der vektor c der Nullvektor ist, oder? So, jetzt zu meiner eigentlich Frage, kann man mit Hilfe des Skalarprodukts und des Vektorproduktes (Kreuzprodukts) auch lineare (un)abhängigkeit nachweisen? Wenn ich z.b. 2 Vektoren habe und der Winkel zwischen 2 Vektoren ist 0 oder 180 Grad (den man ja irgendwie über das Skalarprodukt berchnen kann), dann sind diese doch parallel und müssten somit linear abhängig sein. Wobei ich vermute, dass der standardweg aber einfacher ist. Ging beim Vektorprodukt da nicht auch irgendwas für 3 Vektoren? Ich erinnere mich da an etwas wie: Wenn man die Basisvektoren multipliziert (als Vektorprodukt) und es kommt der 3.te Vektor raus (oder ein vielfaches von ihm), dann sind sie linear abhängig!? Für Hinweise, Tipps und Korrekturen bin ich sehr dankbar, da ich morgen eine Mathearbeit schreibe und ich da noch ein kleines "Verständnisdefizit" habe 
Vielen Dank |
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| 14.01.2007, 13:30 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Haufen Fragen. Zunächst sind deine Definitione von linearer (Un-)Abhängigkeit leicht ungenau. Man sollte es so sagen: 2 Vektoren sind linear abhängig, wenn sich einer der beiden Vektoren (nicht unbedingt jeder!) als Vielfaches der anderen schreiben läßt. 3 Vektoren sind linear abhängig, wenn sich einer der drei Vektoren (nicht unbedingt jeder!) als Linearkombination der beiden anderen schreiben läßt. Und wenn drei Vektoren linear unabhängig sind, dann müssen auch bei Weglassen von einem der drei Vektoren die anderen beiden noch linear unabhängig sein. Wenn dagegen drei Vektoren linear abhängig sind, dann können beim Weglassen eines Vektors die beiden andern sowohl linear unabhängig als auch linear abhängig sein. Am besten sagt man es umgekehrt: Lineare Unabhängigkeit kann beim Hinzunehmen von Vektoren verloren gehen, bleibt aber beim Wegnehmen von Vektoren erhalten. Lineare Abhängigkeit bleibt dagegen beim Hinzunehmen von Vektoren erhalten, kann aber beim Wegnehmen von Vektoren verloren gehen. Und richtig: Die lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren kann mit dem Skalarprodukt so wie von dir beschrieben überprüft werden. Im Dreidimensionalen geht es auch mit dem Vektorprodukt: Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn ihr Vektorprodukt der Nullvektor ist. Für drei Vektoren brauchst du allerdings die Determinante (und die funktioniert auch für zwei Vektoren). |
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| 14.01.2007, 13:42 | ChaosNo1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Leopold, erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Dann habe ich es vom Prinzip ja doch schon ziemlich verstanden, das beruhigt mich
.Aber erlaube mir noch mal die eine oder andere Frage:
Wie stellt man sich das Grafisch vor? Ich gehe mal davon aus, dass es stimmt, dass 3 linear abhängige Vektoren sich alle in einer ebene darstellen lassen. Wenn ich jetzt einen Vektor wegnehme und die lineare abhängigkeit bleibt bestehen, heisst das doch, dass alle 3 Vektoren parralel sind/waren!? Und stimmt das mit dem Raum aufspannen, bei unahbhängigkeit? |
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| 15.02.2023, 11:18 | mathekellner | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineare Unabhängigkeit Ich glaube die bisherige Antwort schießt leicht über das Ziel hinaus. Der Fragesteller möchte vermutlich wissen: Wenn drei Vektoren (z.B. a, b und c) linear abhängig sind, sind dann auch die Paare (a,b), (a,c) und (b, c) linear abhängig? Die Antwort lautet: Nein, müssen sie nicht sein: Drei paarweise linear abhängige Vektoren können paarweise linear unabhängig sein (das ist quasi der "Normalfall"). |
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