Genauigkeit=Streuung

12.01.2012, 19:59

akvarel

Genauigkeit=Streuung

Hallo!
Mein Professor hat heute ein Beispiel mit Streuung und Varianz vorgetragen:
Wenn wir die Genauigkeit unseres Tests (Umfrage) verdoppeln wollen, dann müssen wir die Anzahl der Patienten mit „4“ multiplizieren.
Genauigkeit = Streuung und Anzahl der Patienten=Varianz

Die Streuung gibt an, wie stark die Werte durchschnittlich von dem Erwartunswert abweichen.

Warum ist Genauigkeit gleich Streuung? Wenn Genauigkeit=Streuung ist, dann wollen wir unsere Streuung verdoppeln, was bedeutet, dass wir eine (doppelte)größere Abweichung von dem Mittelwert bekommen...
Ich verstehe nicht, warum wir die Abweichung verdoppeln wollen. Je größer die Abweichung, desto genauer der Test?

Dank mehrmals

12.01.2012, 22:19

Black

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RE: Genauigkeit=Streuung

Zitat:

Original von akvarel
Genauigkeit = Streuung und Anzahl der Patienten=Varianz

Woher hast du das? Das macht so keinen Sinn und ist falsch

13.01.2012, 08:27

akvarel

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Woher hast du das? Das macht so keinen Sinn und ist falsch

M... Der Professor hat uns die Formel von Varianz und Streuung erklärt und dann so ein Beispiel gesagt.
Ich verstehe dann nicht warum wir dann auf 4 kommen. Ja klar. $\begin{eqnarray*} 2^{2}=4 \end{eqnarray*}$ , aber warum genau hoch 2 und nicht 2 oder 4?

15.01.2012, 15:48

akvarel

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Kann mir dann jemand bitte erklären wie ich auf 2^{2} Anzahl der Probanden, komme, wenn ich die Genauigkeit meines Tests verdoppeln will bezüglich der Varianz, Streuung und Erwartungswert, da wir dieses Beispiel genau nach der Erklärung von Varianz und Streuung besprochen haben.

Vielen Dank im Voraus.

15.01.2012, 15:57

Black

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Das Ganze macht eigenetlich nur Sinn wenn man etwa ein Konfidenzintervall betrachtet.

Die Länge eines KI zur Schätzung eines Parameters $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ beträgt gerade $\begin{eqnarray*} L=2\cdot t_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\hat{\sigma}(\hat{\mu})}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Möchte man nun (ceteris paribus) die Länge des KI halbieren (sprich die Genauigkeit verdoppeln), dann muss man n vervierfachen, denn: Sei $\begin{eqnarray*} n_1:=4 \cdot n \end{eqnarray*}$ ,
dann ist $\begin{eqnarray*} 2\cdot t_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\hat{\sigma}(\hat{\mu})}{\sqrt{n_1}}=2\cdot t_{1-\alpha/2} \cdot \frac{\hat{\sigma}(\hat{\mu})}{\sqrt{4 \cdot n}}=\frac{1}{2} \cdot L \end{eqnarray*}$

15.01.2012, 17:00

akvarel

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Habe ich es richtig verstanden?

Wenn man die Genauigkeit verdoppeln will, also die Streuung auf einem bestimmten Intervall halbieren, dann muss man, dann muss ich die Anzahl der Patienten 4-fachen.

Das ist was wir in der Vorlesung geschrieben haben:
$\begin{eqnarray*} Var(\frac{1}{n} (X_{1}+X_{2}...+X_{n})= \frac{1}{n} *(\delta)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Streeung= \frac{1}{\sqrt{n} } * (\delta) \end{eqnarray*}$

So, wenn ich jetzt die Streuung halbieren will:
$\begin{eqnarray*} Streuung halbieren= \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{n} } * (\delta)=\frac{1}{\sqrt{4*n} } * (\delta) \end{eqnarray*}$
Ja, ich muss man die Anzahl meiner Patienten 4-fachen.

Aber warum benutzen wir die Formel
$\begin{eqnarray*} Var(\frac{1}{n} (X_{1}+X_{2}...+X_{n})= \frac{1}{n} *(\delta)^{2} \end{eqnarray*}$

Und nicht einfach
$\begin{eqnarray*} Varianz(X_{1}+X_{2}...+X_{n})=n*(\delta)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Streuung=\sqrt{n*(\delta)^{2}} <br /> \end{eqnarray*}$

und dann wäre
$\begin{eqnarray*} Streeung halbieren= \frac{1}{2}*\sqrt{n*(\delta)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}* n*(\delta)^{2}}=\delta*\sqrt{\frac{1}{4}* n} \end{eqnarray*}$

Warum berechnen wir die $\begin{eqnarray*} Var(\frac{1}{n} (X_{1}+X_{2}...+X_{n}) \end{eqnarray*}$ ?

15.01.2012, 17:05

Black

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Zitat:

Original von akvarel

Warum berechnen wir die $\begin{eqnarray*} Var(\frac{1}{n} (X_{1}+X_{2}...+X_{n}) \end{eqnarray*}$ ?

Weil es hier um den Mittelwert, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ geht

15.01.2012, 19:26

akvarel

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Zitat:

Original von Black

Weil es hier um den Mittelwert, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ geht

Ja, das verstehe ich schon. Aber wieso benutzt man genau diese Formel, um "Streuung halbieren" zu berechnen?

Kann man auch nicht den Mittelwert benutzen, sondern das hier:

$\begin{eqnarray*} Varianz(X_{1}+X_{2}...+X_{n})=n*(\delta)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Streuung=\sqrt{n*(\delta)^{2}} \end{eqnarray*}$

und dann wäre
$\begin{eqnarray*} Streeung halbieren= 2*\sqrt{n*(\delta)^{2}}=\sqrt{4* n*(\delta)^{2}}=\delta*\sqrt{4* n} \end{eqnarray*}$

15.01.2012, 19:54

akvarel

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Oder gibts Zusammenhang zw "Mittelwert" und "Genauigkeit verdoppeln" bzw. "Streeung halbieren" ?

16.01.2012, 00:32

Black

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Zitat:

Original von akvarel
[...]
und dann wäre
$\begin{eqnarray*} Streeung halbieren= 2*\sqrt{n*(\delta)^{2}}=\sqrt{4* n*(\delta)^{2}}=\delta*\sqrt{4* n} \end{eqnarray*}$

Erläutere bitte genauer was genau du hier rechnest.

16.01.2012, 02:10

akvarel

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Zitat:

Original von Black

Zitat:

Original von akvarel
[...]
und dann wäre
$\begin{eqnarray*} Streeung halbieren= 2*\sqrt{n*(\delta)^{2}}=\sqrt{4* n*(\delta)^{2}}=\delta*\sqrt{4* n} \end{eqnarray*}$

Erläutere bitte genauer was genau du hier rechnest.

Genau das, was ich hier gemacht habe.

Zitat:

Original von akvarel
So, wenn ich jetzt die Streuung halbieren will:
$\begin{eqnarray*} Streuung halbieren= \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{n} } * (\delta)=\frac{1}{\sqrt{4*n} } * (\delta) \end{eqnarray*}$
Ja, ich muss man die Anzahl meiner Patienten 4-fachen.

Aber ich musste dann mit 2 multiplizieren und nicht mehr mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , um auf 4*n zu kommen.

Ich verstehe nicht, warum man genau die Formel von dem Varianz-Mittelwert benutzen muss, um die Streuung halbieren zu koennen. Warum spielt Mittelwert eine Rolle, wenn ich erfahren die anzahl von probanden bei der verdoppelten Genauigkeit erfahren will.

16.01.2012, 06:41

Dopap

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Zitat:

Original von akvarel
Aber warum benutzen wir die Formel
$\begin{eqnarray*} Var(\frac{1}{n} (X_{1}+X_{2}...+X_{n})= \frac{1}{n} *(\delta)^{2} \end{eqnarray*}$
Und nicht einfach
$\begin{eqnarray*} Varianz(X_{1}+X_{2}...+X_{n})=n*(\delta)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Streuung=\sqrt{n*(\delta)^{2}} <br /> \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft bei aller Theorie ein Beipiel. Seien die "Patienten" Brötchen mit dem Gewicht =X. Das Sollgewicht sei 50g. Der Mittelwert soll mit 90% zwischen 48 und 52g liegen.

Die Stichprobe von 10 Brötchen liefert 49g. Das kann in Ordnung sein oder auch nicht. Entscheidend ist hier die Streuung von 10-ner Stichproben. Diese ist einfach zu breit um jetzt eine Aussage treffen zu können. ( Gut, beim Mittelwert von 51g ist vielleicht die Gefahr des Untergewichts gebannt, aber Übergewicht droht, und das sieht der Produzent nicht gerne )

Wir brauchen eine engere Streuung der Stichproben. Mit 40-ger Stichproben verringert sich die Breite der Streuung auf die Hälfte. Damit könnte man dann vielleicht entscheiden, ob diese Produktion noch im Rahmen liegt.

Und jetzt vergleich mal mit deiner Frage
Welchen praktischen Sinn macht es, die Streuung der Summe der Brötchengewichte, die mit $\begin{eqnarray*} \sqrt n \end{eqnarray*}$ wächst, zu berechnen? Wie sähen da wohl die Vorgaben des Herstellers aus?
Etwa so: bei n=20 sollte das Summengewicht zwischen 991 und 1009g liegen.
bei n=30 sollte das Summengewicht zwischen 1488 und 1519g liegen.?
etc. etc.?
Total unpraktisch.
Ist jetzt der Sinn der gestellten Aufgabe verständlich(er)?

16.01.2012, 15:19

akvarel

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Ach so... deswegen brauchen wir den Mittelwert.... ok...
Hab ich es dann richtig verstanden, dass wir genau die Anzahl der Probanden aus dieser formel ableiten koennen:

Zitat:

Original von akvarel
Das ist was wir in der Vorlesung geschrieben haben:
$\begin{eqnarray*} Var(\frac{1}{n} (X_{1}+X_{2}...+X_{n})= \frac{1}{n} *(\delta)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Streeung= \frac{1}{\sqrt{n} } * (\delta) \end{eqnarray*}$

So, wenn ich jetzt die Streuung halbieren will:
$\begin{eqnarray*} Streuung halbieren= \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{n} } * (\delta)=\frac{1}{\sqrt{4*n} } * (\delta) \end{eqnarray*}$
Ja, ich muss man die Anzahl meiner Patienten 4-fachen.

Und wir brauchen genau den Mittelwert und nicht die Summe, weil wir genau den Mittelwert von Stichproben und nicht irgendwie die gesamte Gewichtsmasse von Broetchen wiessen wollen.

16.01.2012, 17:55

Dopap

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Zitat:

Original von akvarel
Und wir brauchen genau den Mittelwert und nicht die Summe, weil wir genau den Mittelwert von Stichproben und nicht irgendwie die gesamte Gewichtsmasse von Broetchen wiessen wollen.

ja richtig.

Wenn ich 500 mal eine Münze werfe und 275 mal "1" erhalte könnte man die Abweichung vom Erwartungswert in Vielfachen der Streuung ausdrücken, um die Hypothese
" die Münze ist korrekt " zu testen. Die Streuung wächst mit $\begin{eqnarray*} \sqrt n \end{eqnarray*}$

In der Praxis dividiert man durch 500 und testet nun p=0.5 gegen p1=0.55
Die Streuung sinkt mit $\begin{eqnarray*} \frac {1} {\sqrt n} \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt n}{n}= \frac 1 {\sqrt n} \end{eqnarray*}$ gilt Augenzwinkern

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