Lineare Abbildung

12.01.2012, 22:46	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung Guten abend alle zusammen Ich hänge leider an folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} f:\mathbb R_{\leq 2}[X]\Rightarrow \mathbb R _{\leq 3}[X] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(a_{0}+a_{1}X+a_{2}X)=a_{0}+3a_{2}+(3a_{1} -6a_{2} )X+(-a_{0} -3a_{2})X^2+(2a_{0} +a_{1} +ha_{2} )X^3 \end{eqnarray}$ a) Zeigen sie, dass f R-linear ist. b) Finden sie für jedes $\begin{eqnarray} h\in \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Basis für $\begin{eqnarray} im(f) \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} ker(f) \end{eqnarray}$ . c) Für welches $\begin{eqnarray} h\in \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} dim ker(f)=1 \end{eqnarray}$ ? a) war kein Problem. Leider habe ich bei der b) keine Ahnung wie ich anfangen soll. Die Definitionen für im(f) und ker(f) sind klar, aber weiter weiß ich leider nicht. Vielleicht könnte mir ja jemand helfen
12.01.2012, 22:54	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz spontan? Abbildungsmatrizen kennst du doch sicherlich, oder? Die würde ich bestimmen und dann mit denen die Basen bestimmen. [Artikel] Abbildungsmatrizen [Artikel] Basis, Bild und Kern
12.01.2012, 23:27	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte diese Abbildungsmatrix stimmen? Wähle: $\begin{eqnarray} a_{1} =1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_{2} =1-X \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_{3} =(1-X)^2 \end{eqnarray}$ dann folgt: $\begin{eqnarray} f(a_{1})=1-X^2+2X^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(a_{2})=1-3X-X^2-X^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(a_{3})=4-12X-4X^2+hX^3 \end{eqnarray}$ folgt daraus dann: $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & -1 & -1 \\ 4 & -12 & -4 & h \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?
15.01.2012, 16:51	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn darauf? Nimm doch in beiden Räumen die Monombasis. Es muss außerdem eine 4x3 - Matrix sein.

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