Zerlegung von einer Frequenz in Grundmode und 1. Mode (komplex-zahliger Ansatz)

13.01.2012, 08:54

FlashG

Zerlegung von einer Frequenz in Grundmode und 1. Mode (komplex-zahliger Ansatz)

Meine Frage:
Guten Morgen liebe Foren-Gemeinde,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen, habe aber Schwierigkeiten bei der späteren Lösung des Gleichungssystems. Aber der Reihe nach, zunächst die Aufgabenstellung:
An einer Kanalwand sind zwei Mikrofne eingelassen, die im Abstand von 1,2m die Schalldruckschwankungen in der Form p'(t) messen. Mikrofon eins (das linke, welches näher an der Schallquelle sitzt) nimmt Signal $\begin{eqnarray*} p_a'(t) \end{eqnarray*}$ auf, Mikrofon zwei das Signal $\begin{eqnarray*} p_b'(t) \end{eqnarray*}$ . Die Schalldruckschwankungen lassen sich in der Form
$\begin{eqnarray*} p'(t)=C\cos(2\pi ft+\phi) \end{eqnarray*}$
darstellen. Die Signale besitzen beide die gleiche Frequenz $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , jedoch unterscheiden sie sich in der Amplitude $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und der Phase $\begin{eqnarray*} /phi \end{eqnarray*}$ . Die Druckmessungen ergeben, dass zwischen Mic eins und zwei ein Phasenunterschied von 160° vorliegt. Die Amplituden werde zu $\begin{eqnarray*} C_a \end{eqnarray*}$ =3.02Pa und $\begin{eqnarray*} C_b \end{eqnarray*}$ =4,16Pa bestimmt.
Die Luft im Kanal wird mit 220Hz angeregt und es gilt die Schallgeschwindigkeit von 340m/s. Der Kanal hat eine Breite von 1m, wordurch sich bei der gegbenen Frequenz die Grundmode (ebene Wellen) und die erste Mode ausbreiten können. Der Vollständigkeit halber: Alle anderen Moden sollen bis zu den Mikrofonen vollständig herausgedämpft worden sein.

Meine Ideen:
[IDEEN]

13.01.2012, 09:26

FlashG

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Hm, ich kann anscheinend alte Beiträge nur 15 Minuten bearbeiten. Damit hab' ich jetzt nicht gerechnet, bitte entschuldigt also den unvollständigen ersten Post!

Also weiter, kommen wir zur Aufgabe: Das gemessene Schallfeld soll in seine modalen Anteile zerlegt werden. Wie stark sind die beteiligten Moden, d.h. welche maximalen Druckschwankungen würden an den Mikrofonen gemessen werden, würden sie isoliert vorliegen?

Zur Aufgabe wird noch folgender Hinweistext gegeben:

Zitat:

Im Prinzip gibt es vier Unbekannte. Dies sind die beiden (reellen) Amplituden und die Pasen der beiteiligten Moden (Grundmode und erste höhere Mode). Diese vier Unbekannten können auch in zwei komplexen Amplituden zusammengefasst werden (komplexe Darstelleung!). In der Aufgabenstellung sind drei Größen gegeben. Das sind die beiden Amplituden an den Mikrofonpositionen und die Phasendifferenz. Daraus lassen sich drei Bedingungen an die Unbekannten ableiten. Es ist also nicht möglich die vier Unbekannten vollständig zu bestimmen. Es wird allerdings auch nur nach zwei Größen gefragt: die Stärke der Moden, was den Beträgen der komplexen Amplituden entspricht. Nach der absoluten Phase der Moden ist nicht gefragt.

13.01.2012, 10:21

FlashG

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Ok, kommen wir nun zum Ansatz: Allgemein lässt sich eine Druckwelle (Laufrichtung hier auschließlich von links nach rechts) folgendermaßen beschreiben:
$\begin{eqnarray*} p'(x,t) = A*e^{iwt+\alpha*x+\phi} \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist hinzuzufügen, dass das alpha bei ebenen Wellen die Wellenzahl k ist, welche sich aus $\begin{eqnarray*} \frac{\omega}{c} \end{eqnarray*}$ berechnet. Berechnung:
$\begin{eqnarray*} k=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi f}{c} = \frac{2\pi 220 s^{-1}}{340 m/s} = 4,0655m^{-1} \end{eqnarray*}$
Für die erste Mode ist es etwas komplizierter: Das alpha bestimmt sich dann folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} \alpha = \sqrt{\left(\frac{\omega}{c}\right)^2-\left(\frac{m\pi}{H}\right) } \end{eqnarray*}$ Berechnung:
$\begin{eqnarray*} \alpha = \sqrt{\left(\frac{\omega}{c}\right)^2-\left(\frac{m\pi}{H}\right)^2 } = \sqrt{\left(\frac{2\pi 220}{340} \right)^2-\left(\frac{1\pi}{1} \right)^2 } = 2,5805m^{-1} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ der Ordnung der Mode entspricht, also 1 ist.
Ich stelle nun das Gleichungssystem auf; eine Gleichung für jede Mikrofonposition:
Mic a: $\begin{eqnarray*} C_a*e^{i(\omega t-\alpha x + \phi_a}) = C_{a,0}*e^{i(\omega t- kx + \phi_{a,0})}+C_{a,1}*e^{i(\omega t- \alpha_1 x + \phi_{a,1})} \end{eqnarray*}$
Mic b: $\begin{eqnarray*} C_b*e^{i(\omega t-\alpha x + \phi_b}) = C_{b,0}*e^{i(\omega t- kx + \phi_{b,0})}+C_{b,1}*e^{i(\omega t- \alpha_1 x + \phi_{b,1})} \end{eqnarray*}$

Die Gleichungen kann man vereinfachen, indem man den Term $\begin{eqnarray*} e^{iwt} \end{eqnarray*}$ herauskürzt. Außerdem muss gelten, dass $\begin{eqnarray*} C_{a,0} = C_{b,0} = C_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_{a,1} = C_{b,1} = C_1 \end{eqnarray*}$ . Dann erhält man folgendes Gleichungssystem:
Mic a: $\begin{eqnarray*} C_a*e^{i(-\alpha x + \phi_a}) = C_0*e^{i(- kx + \phi_{a,0})}+C_1*e^{i(- \alpha_1 x + \phi_{a,1})} \end{eqnarray*}$
Mic b: $\begin{eqnarray*} C_b*e^{i(-\alpha x + \phi_b}) = C_0*e^{i(- kx + \phi_{b,0})}+C_1*e^{i(- \alpha_1 x + \phi_{b,1})} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Zahlen eingesetzt, die ich kenne:
Mic a: $\begin{eqnarray*} 3,02Pa*e^{i(-\alpha x + \phi_a}) = C_0*e^{i(- 4,0656m^{-1}x + \phi_{a,0})}+C_1*e^{i(- 2,5806m^{-1} x + \phi_{a,1})} \end{eqnarray*}$
Mic b: $\begin{eqnarray*} 4,16Pa*e^{i(-\alpha x + \phi_a}) = C_0*e^{i(- 4,0656m^{-1}x + \phi_{a,0})}+C_1*e^{i(- 2,5806m^{-1} x + \phi_{a,1})} \end{eqnarray*}$

Als weitere Bedingungen weiß ich ja jetzt auch noch, dass der Abstand zwischen Mic a und b 1,2m beträgt, man könnte also bei Mic a $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ irgendwie null setzen. Außerdem ist die Phasendifferenz von $\begin{eqnarray*} \phi_a \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \phi_b \end{eqnarray*}$ bekannt (=160°). Ich habe aber von beiden Randbedingungen keine Ahnung, wie ich die sinnvoll in das Gleichungssystem einfließen lasse und wie ich daraus die Größen $\begin{eqnarray*} C_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen kann.

Wer kann mir helfen? Ich wäre sehr dankbar!

13.01.2012, 18:28

Dopap

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hier ist auch physikalisches Know How gefragt.
Ich würde das Ganze komplett beim

www.physikerboard.de

reinstellen. Schaden kann das nicht.

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