Polarkoordiantentransformation

13.01.2012, 12:33

Polarschmolar

Polarkoordiantentransformation

Meine Frage:
Hi, ich kapier die Polarkoordiantentransformation nicht so ganz. Ich hoffe ihr könnt mir helfen sie zu verstehen.
Hab hier eine Aufgabensammlung mit Lösungen.(ohne Rechenweg) Hab mir 4 Beispiele rausgesucht:
a $\begin{eqnarray*} \int_B\int \! \sqrt{1-x²-y²} \, dx dy \end{eqnarray*}$
b $\begin{eqnarray*} \int_B\int \!( x²+y²) \, dx dy \end{eqnarray*}$ B wird von der Kurve
$\begin{eqnarray*} x²+y² = 2ax, a>0 \end{eqnarray*}$ begrenzt
c $\begin{eqnarray*} \int_0^2\int_0^x \! f(\sqrt{x²-y²}) \, dy dx \end{eqnarray*}$
d $\begin{eqnarray*} \int_B\int \! 1/ \sqrt{a-x²-y²} \, dx dy \end{eqnarray*}$
wenn B der Teil des Kreises vom Radius a und dem Mittelpunk (0,0) ist der im 1. Quadranten liegt.

Mir geht es hauptsächlich um die Grenzen.

Meine Ideen:
So Aufgabe a konnte ich lösen. Dort wählte ich die Grenzen 0 und 1 für r und 0 und 2pi für phi. Da der Kreis den radius eins hat und um den ganzen Kreis integriert wird.
Aufgabe b) $\begin{eqnarray*} \int_B\int \!r^3 \, dr d\phi \end{eqnarray*}$
Ich schätz mal Phi ist wieder von 0 bis 2pi. Da der "Boden" wieder ein Kreis ist.
c) $\begin{eqnarray*} \int\int \! f(r) r \, d\phi dr \end{eqnarray*}$
Hier ist für mich die Fläche also der "Boden" über dem integriert wird ein Dreieck. Keine Idee wie ich da einen Radius bestimmen soll.

d) $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\int_B\int \! ln(a²-r²)dr d\phi \, dr d\phi \end{eqnarray*}$

Hier würde ich sagen phi ist von 0 bis pi/2 da es nur ein Viertelkreis ist.
Auf das $\begin{eqnarray*} ln(a²-r²) \end{eqnarray*}$ komme ich wegen der Regel $\begin{eqnarray*} \frac{f´}{f} \end{eqnarray*}$ hab halt mit 2 erweitet und dann -0.5 rausgezogen.

Ich hoffe ihr könnt mir paar Denkanstöße geben, damit es bei mir endlich klick macht

13.01.2012, 15:08

Polarschmolar

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Grad keiner da der sich auskennt?^^ Muss ja nicht zur jeder Aufgabe sein... eine von den dreien wäre sicher hilfreich.

13.01.2012, 15:37

Mathesternchen

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ich hab gerade das gleich Problem... vielleicht können wir uns zusammen durchhangeln...

13.01.2012, 15:44

Polarschmolar

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Jo wäre mal ne Sache^^

13.01.2012, 15:51

Mathesternchen

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bei der b würde ich sagen r = 2ax und phi element -PI bist PI...
dann komm ich auf das Ergebnis 8*a^4*x^4*PI....

13.01.2012, 16:17

Polarschmolar

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Die Lösung wäre für die b)

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \pi a^4 \end{eqnarray*}$

also der Radius von dem Kreis wäre ja Wurzel 2ax. Aber ich glaub das x muss erstmal iwie raus

13.01.2012, 16:58

Polarschmolar

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.... ich komm da auf kein ergebnis..

13.01.2012, 18:15

ThomasL

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Zitat:

Original von Polarschmolar
also der Radius von dem Kreis wäre ja Wurzel 2ax.

nein: die Gleichung ist $\begin{eqnarray*} x^2-2ax+y^2=0 \end{eqnarray*}$ , also quadratisch ergänzt
$\begin{eqnarray*} (x-a)^2+y^2=a^2 \end{eqnarray*}$

13.01.2012, 18:46

ThomasL

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Zitat:

Original von Polarschmolar
Die Lösung wäre für die b)

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \pi a^4 \end{eqnarray*}$

hm, also ich habs jetzt mehrmals gerechnet und komme immer auf $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}\pi a^4 \end{eqnarray*}$ ... verwirrt

13.01.2012, 22:16

Polarschmolar

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Ich versteh nicht wie du darauf kommst... sind dann deine grenzen 0 bis 2pi und 0 bis a? aber dann komme ich auf ein anderes ergebnis

13.01.2012, 23:01

Polarschmolar

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Aufgabe c) hätte ich etz auch gelöst und verstanden. Bleiben noch b und d

14.01.2012, 12:19

ThomasL

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zu b): schreiben wir $\begin{eqnarray*} K_r(x,y) \end{eqnarray*}$ für die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ . Dann ist der Integrationsbereich $\begin{eqnarray*} B=K_a(a,0) \end{eqnarray*}$ . Also

$\begin{eqnarray*} \iint_B (x^2+y^2)dx\,dy=\iint_{K_a(0,0)}[(x+a)^2+y^2]dx\, dy=\int_0^{2\pi} \int_0^a[(r\cos \varphi+a)^2+r^2\sin^2\varphi]r\,dr\,d\varphi=\dots \end{eqnarray*}$

zu d): war die Aufgabe wirklich so? (der Integrand wäre im allg nicht auf ganz B definiert)

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