Dimension eines Polynomrings |
| 13.01.2012, 12:36 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Dimension eines Polynomrings Nach dem mir nicht mal meine Tutorin helfen konnte, frage ich selbstverständlich die allwissenden dieser Welt, euch! Also das problem ist folgende: http://wwwmath.uni-muenster.de/u/antongi...LA1/blatt12.pdf Aufgabe 1 unteraufgabe b) Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mit worten erklären würdet wie das überhaupt geht? Meine vermutungen bisher: Dimension eines polynomrings = grad polynomring (ist aber quatsch) Egal wie man es dreht, wenn ich mir die Definition von K[A] ansehe, verstehe ich folgendes: ich habe einen Polynomenring K[X] (das sind ja alle polynome a_nX^n+...+a_1X+a_0 unendlich viele davon) nun gibt es einen element g davon, also ein bestimmtes Polynom, sodass ??? g(A) was?? Wie gesagt, ich verstehe nicht mal richtig womit ich es hier zu tun habe, so kann ich auch keine dimension davon bestimmen.. Vielen Dank im voraus |
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| 13.01.2012, 12:57 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo und 
zu K[A]: bezeichnet die Menge aller A mit der Eigenschaft B. Also ist: die Menge aller g(A) wobei g irgendein Polynom ist. g(A) ist einfach A eingesetzt für X. Zur Dimensionsbestimmung sollte dir das oben berechnete Minimalpolynom von A helfen.
Was ist denn der Grad eines Polynomrings? |
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| 13.01.2012, 13:03 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hey und danke Grad eines Polynomrings, ist die höchste Potenz ihrer Unbekannten. Wie soll mir minimalpolynom helfen? Minimalpolynom lautet (X-1)² falls a in der Matrix 0 ist oder eben (X-1)³ für a=1. Willst du irgendwie andeuten dass dim 2 oder 3 ist? Und diese A anstatt X ist doch unsere matrix |
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| 13.01.2012, 13:10 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hab das Min.Pol. nicht ausgerechnet. Wenn dem so ist, dann will ich dass wohl andeuten.
was soll es denn sonst ein? In der Angabe gibt´s nur das eine A. |
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| 13.01.2012, 13:22 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also das mit A habe ich auch gewusst, und kann es mir locker vorstellen. Aber bitte.. Wie kommst du dass die dimension eines Polynomrings gleich der dim des eigenraums von minimalpolynom ist? Durch welche sätze/feststellungen kommst du drauf? Du sagst ja selber Polynomring K[X] enthält ALLE mögliche polynome mit X bellibigen grades, sind doch unendlich viele also gut, nut gibt es ein g(A) mit eigenschaft g element K[X]. Ich habe also eine summe von matrixen 3x3 hoch unbestimme zahlen und diese werden noch davor mit beliebegen koeffizienten multipliziert. Und du sagst die dimension davon ist 2 bzw 3 oO? Das wird doch aussagen, dass es eine basis gibt aus 2 bzw 3 elementen, mit denen ich dass alle solche g(A) beschreiben kann. Wäre mir auch lieber wenn du recht hast :-) Sag aber echt wie du drauf kommst.. |
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| 13.01.2012, 13:29 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bitte zitiere nicht meine vollständigen Posts. Das macht die Threads unübersichtlich.
Erfahrung/Intuition. Schau dir mal ein paar g(A) an. Für welche g, h ist g(A)=h(A)? Oder anders formuliert: Was ist der Kern von Nach Isomorphiesatz ist und letzteres lässt sich leicht ausrechnen. |
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| 13.01.2012, 13:49 | ganzruhig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
langsam verstehe ich wie du drauf kommst, der Kern ist ja selbstverständlich alle g element K[X] sodass "deine def. Abbildung" von g = 0 ist, und dieses g kann nichts anderes sein außer (X-1)³ bzw ², andere polynome interesieren uns nicht, da sie durch minimalpolynom geteilt werden, also auch durch ihn darstellbar sind. daraus folgt ich muss nur die dimension des eigenraums von minimalpolynom bestimmen.. tja.. was soll ich sagen, sehr gute intuition, respägd :-) |
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