Funktionen, Injektivität

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juli123 Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen, Injektivität
Beweisen Sie, dass eine Funktion f : A B genau dann injektiv ist, wenn für alle Teilmengen X,Y von A gilt.

kann mir hier jemand helfen?
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen, Injektivität
Zitat:
Original von juli123
Beweisen Sie, dass eine Funktion f : A B genau dann injektiv ist, wenn für alle Teilmengen X,Y von A gilt.

kann mir hier jemand helfen?


Na mal sehen smile


Fangen wir mit" " an:

Seien und

Sei auch injektiv , dann gibt es ein für jedes .

Daraus folgt dann aber auch, und

Was dann die Vorgabe ergibt.

Das war die Hinrichtung,also Beweis Teil1, und " " fehtlt noch.
Probier mal erst einwenig den 2.Teil , hast sicher ein paar Ideen dazu, viel Spass
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen, Injektivität
Zitat:
Original von Cacul
Sei auch injektiv , dann gibt es ein für jedes .
Das ist Unsinn unglücklich

Zu jedem gibt es genau ein , das ist ja gerade die Definition einer Abbildung

Zitat:
Original von Cacul
Daraus folgt dann aber auch, und
Nein. Wähle .
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen, Injektivität
Zitat:
Original von juli123
Beweisen Sie, dass eine Funktion f : A B genau dann injektiv ist, wenn für alle Teilmengen X,Y von A gilt.

kann mir hier jemand helfen?
Zeige beide Richtungen separat:

Zur Hinrichtung:
Nimm an, dass injektiv ist.

Zu zeigen ist also die Gleichheit der Mengen


Am Besten, du zeigst nun

sowie



Die Rückrichtung geht über einen klassischen Widerspruchsbeweis, d.h. man nehme an, es gibt mit und
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »

Math1986, von was redest du eigentlich?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cacul
Math1986, von was redest du eigentlich?
Welcher Teil meines Beitrages ist dir unklar?
 
 
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Welcher Teil meines Beitrages ist dir unklar?




Naja ohne Beweis ist dein Beitrag überflüssig...
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cacul
Zitat:
Original von Math1986
Welcher Teil meines Beitrages ist dir unklar?

Naja ohne Beweis ist dein Beitrag überflüssig...
Falsch. Ich habe bewusst keinen kompletten Beweis geliefert, sondern nur den Ansatz zu selbigem.

Auch ein Ansatz zu einem Beweis ist für jemanden, der keinen Ansatz hat, offensichtlich hilfreich.
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, ist das eine Ausrede oder ne Entschuldigung? :X

Aber guck mal hier sind Unklarheiten
Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von Cacul
Sei auch injektiv , dann gibt es ein für jedes .
Das ist Unsinn unglücklich

Zu jedem gibt es genau ein , das ist ja gerade die Definition einer Abbildung


Definition einer Abbildung ist genauso das Gegenteil deiner Aussage.

Ok, meine Aussage kann man vielleicht auch verbessern, aber Injektiver als
injektiv wird die Funktion deshalb nicht^^

Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von Cacul
Daraus folgt dann aber auch, und
Nein. Wähle .


Wieso soll das ein Problem sein? smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Cacul, du magst vielleicht eine exotische Mathematik betreiben wo deine Aussagen möglicherweise stimmen könnten, trotz allem ist deine Interpretation der Injektivität in der normalen Mathematik falsch.

Seien zwei nicht-leere Mengen. Eine Abbildung von nach ist eine Vorschrift, die jedem Element genau ein Element zuordnet. Man nennt das Bild von unter .

Somit ist nach Definition einer Abbildung schon für jedes (genau) ein gegeben, mit Injektivität hat das aber noch lange nichts zu tun. Weiter könnte mit der Wahl deine Aussage problematisch sein, dann würde die leere Menge ein Element enthalten.

Desweiteren ist es jetzt erst einmal an juli123 sich rückzumelden.
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Somit ist nach Definition einer Abbildung schon für jedes (genau) ein gegeben, mit Injektivität hat das aber noch lange nichts zu tun.


"genau ein f(b)" schreibst du und nicht ich,

Zitat:

Weiter könnte mit der Wahl deine Aussage problematisch sein, dann würde die leere Menge ein Element enthalten.

Desweiteren ist es jetzt erst einmal an juli123 sich rückzumelden.


Wenn die leere Menge kein Element enthalten kann und?
Wo hab ich X=Y=leere Menge geschrieben?

ein f(b) kann ich benutzen, aber genau ein f(b) geht gar nich übrigens...
weil solang ich nur injektive Eigenschaften verwende, macht das nich viel.
Aber genau ein f(b) ist genau nicht Injektiv....
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen, Injektivität
Zitat:
Original von Cacul
Sei auch injektiv , dann gibt es ein für jedes .


"Genau ein" ist die schärfere Bedingung, du behauptest nur, dass es für jedes Element des Definitionsbereichs ein passendes Bild im Zielbereich gibt. Und noch einmal: das hat mit der Injektivität überhaupt nichts zu tun. Bitte informiere dich zuerst über die verwendeten Fachbegriffe anstatt so einen Unfug hier zu verbreiten.

Hättest du die Aufgabenstellung vernünftig gelesen, hättest du bemerken können, dass eine Aussage über alle Teilmengen von gemacht wird, insbesondere also über .

Zitat:
Original von Cacul
ein f(b) kann ich benutzen, aber genau ein f(b) geht gar nich übrigens...
weil solang ich nur injektive Eigenschaften verwende, macht das nich viel.
Aber genau ein f(b) ist genau nicht Injektiv....


Das ist vollkommener Blödsinn.
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen, Injektivität
Zitat:
Original von Iorek


Das ist vollkommener Blödsinn.


Du bist vollkommen schwachsinnig,Abbildungs definition von Wiki posten
und dann bullshit hier verzapfen...


das disjunkte X,Y f nich erfüllen siehste vielleicht irgendwann ein.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: funktionen, Injektivität
Hallo!

Einige wichtige Punkte sind in dieser Diskussion ja schon genannt worden. Meinungsunterschiede darüber lassen sich sachlich klären - das ist der Vorteil in der Mathematik.

Also bitte ruhig Blut und dann mal intensiv und schrittweise in den Beweis reinschauen:

Zitat:
Fangen wir mit" " an:


Jetzt soll also die Hinrichtung gezeigt werden. Das ist ok.

Zitat:
Seien und


Das kannst du auch annehmen. Wieso der Durchschnitt als verschieden von der leeren Menge angenommen wird, bedarf vielleicht einer Erklärung. Wäre der Durchschnitt leer, würde gelten: , das wissen wir dann.

Was ist dann mit ? Hätten wir , gäbe es und mit f(x) = f(y) = z. Um das jetzt zum Widerspruch zu führen, brauchen wir die Injektivität nun.

Aber gilt sicher auch ohne die Injektivität.

Zitat:
Sei auch injektiv , dann gibt es ein für jedes .


Das ist sicherlich richtig. Nur ergibt sich das alleine daraus, dass f eine Abbildung ist: jedes hat ein Bild .

Wenn du die Injektivität zusätzlich ausnutzen willst, müsstest du schreiben:

zu jedem Bild gibt es genau ein mit .

Vielleicht war es ja so gemeint.

Zitat:
Daraus folgt dann aber auch, und


Das sind jetzt mehrere Sachen auf einmal. und sind die Voraussetzungen hier, ok. ist auch richtig, denn ist ja die Grundmenge.

Damit gilt auch .

Gezeigt wurde also:

,

also damit:

Interessant ist, dass hier die Injektivität gar nicht für benötigt wird, das gilt also so allgemein.

Zitat:
Was dann die Vorgabe ergibt.


An dieser Stelle hängt der Beweis, du hast nur Teilmenge gezeigt, nicht aber die Gleichheit. Zu zeigen ist noch, dass es auch eine Obermenge ist (und dazu wird vermutlich die Injektivität dann gebraucht).

Insgesamt ein äußerst ausbaufähiger Start, aber eben (noch) nicht der vollständige Beweis der Hinrichtung. Einige Kommentare dazu haben hier schon darauf hingewiesen.

Abakus smile
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »

Abakus, vielen dank für die beeindruckende Erläuterung.

Morgen,Übermorgen nehme ich mal Stellung dazu :=)
juli123 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für eure tipps.. aber so den kompletten durchbllick hab ich noch nicht.. ich weiß noch nicht, wie man im beweis für die gleichheit, nachdem man die eine inklusion gezeigt hat, die injektivität mit einbeziehen soll..

nur mal eine frage.. würdet ihr sagen das ist ein angemessener schwierigkeitsgrad für grundschullehramt?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juli123
ich weiß noch nicht, wie man im beweis für die gleichheit, nachdem man die eine inklusion gezeigt hat, die injektivität mit einbeziehen soll..


Kannst du erstmal hinschreiben, was du (noch) zeigen musst und was du daraus bisher bereits gefolgert hast ? (dann sehen wir, wo du feststeckst)

Eine Inklusion wird zB gezeigt, indem ein hergenommen wird und dann versucht wird zu zeigen, dass auch gilt.

Zitat:
nur mal eine frage.. würdet ihr sagen das ist ein angemessener schwierigkeitsgrad für grundschullehramt?


Als Grundschullehrer solltest du schon einen gewissen Überblick über dein Unterrichtsfach haben, und dazu brauchst du mindestens bestimmte elementare Grundlagen, denke ich. Die wirklichen Schwierigkeiten - so stelle ich es mir vor - liegen wohl darin, den Stoff anderen zu vermitteln.

Abakus smile
Cacul Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juli123
vielen dank für eure tipps.. aber so den kompletten durchbllick [...]für grundschullehramt?


Du gehst 10 mal an A vorbei in den Keller B, dann hast du deine zehn (XY)Sachen dort abgelegt.
Von B nach A musst du aber nur 9mal, oder?



@Abakus

(1.Teil der Aufgabe)
Für Teilmengen von soll ja gelten :
Ist f: injektiv, dann folgt daraus



seien die entsprechenden Zuordnungen
für alle ,
dann wäre f: injektiv.

Aber gilt ja ebenfalls laut Voraussetzung,
also muss die entsprechende Zuordnung sein.

f: hat demnach diese Zuordnungen :



2), 3) in 1) eingesetzt führt dann auch zu

, was die Behauptung der Aufgabe beweist,
(Hoffe Ich :X)
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cacul
@Abakus

(1.Teil der Aufgabe)
Für Teilmengen von soll ja gelten :
Ist f: injektiv, dann folgt daraus



seien die entsprechenden Zuordnungen
für alle ,
dann wäre f: injektiv.

Aber gilt ja ebenfalls laut Voraussetzung,
also muss die entsprechende Zuordnung sein.


OK, soweit das zu Zeigende und die Voraussetzungen.

Du hast natürlich folgendes, ja:



Zitat:
f: hat demnach diese Zuordnungen :



Das stimmt i.A. nicht. Das B muss keine Obermenge von A sein (es ist nur Obermenge von f[A], was alles ist, was wir wissen).

Dazu ein einfaches Beispiel:



Betrachte nun

Für gibt es keine Chance, denn X ist keine Teilmenge von B.

Du kannst das Beispiel noch erweitern und schauen, was noch alles passieren kann.

+ + + + + +

Also zu zeigen ist noch:



Sei dazu , dann gilt sicher auch und .

Demnach gibt es Elemente mit und mit . Nun kommt die Injektivität ins Spiel, es folgt nämlich .

Nun ist und damit , was hier zu zeigen war.

Abakus smile
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