Zwischenwertsatz anwenden

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13.01.2012, 16:15	spratze	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenwertsatz anwenden Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabe: Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{\frac{20x}{1+x^2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x)=x^3-x-10 \end{eqnarray}$ Zeigen Sie mit dem Zwischenwertsatz, dass die Gleichung f(x) = g(x) im Intervall (2; 5) mindestens eine Lösung besitzt. Zeichnen Sie beide Funktionen mit Maple und berechnen Sie eine Lösung im genannten Intervall. Meine Ideen: maple hab ich .. alles andere .. nun ja, ich weiß ÜBERHAUPT NICHT, wo ich anfangen soll .. muss ich f(x)=g(x) setzen? kann ich für die Fkten einfach f(2) und f(5) bzw. g(2) und g(5) berechnen? Eig doch nich, weil 2 und 5 nicht zum D gehören, oder? Ich bitte um Hilfe ..
13.01.2012, 18:05	spratze	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir iwer nen Ansatz geben? würd mich freuen ..
13.01.2012, 18:21	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
hast du dir die funktionen mal gezeichnet und angeschaut? Wenn man mal konkrete funktionen bekommt muss man das ausnutzen. genau, du kannst f(2) und f(5) bzw. g(2) und g(5) berechnen. Diese f(x)-werte sind aber nur "relativ", weil das ein offenes intervall ist. Da die funktionen aber stetig sind und die funktionen beschränk, sagt dir der zwischenwertsatz, dass...
14.01.2012, 11:44	spratze	Auf diesen Beitrag antworten »
.. es mindestens ein x0 gibt, dass Element von (a,b) ist .. also hier [2,5] .. oder ist das falsch? dann weiß ich aber leider immer noch nicht weiter ..
14.01.2012, 11:50	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, du hast zwei Funktionen gegeben. Du solltest dir als erstes eine Hilfsfunktion basteln in dem du einfach mal umformst. $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{20x}{1+x^2}}=x^3-x-10 \end{eqnarray}$ Das bringst du nun auf eine Seite und nennst deine neue Funktion $\begin{eqnarray} h(x) \end{eqnarray}$ . Anschließend solltest du dir die Ränder des Intervalls anschauen in dem du die Werte einsetzt.
14.01.2012, 12:01	spratze	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab da jetzt $\begin{eqnarray} h(x)=x^8+x^6-x^4-x^2-20x+100 \end{eqnarray*}$ ist das erstmal richtig? wenn ja, dann hab ich h(2)=360 u h(5)=405600 H(a)<h(b)
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14.01.2012, 12:15	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst doch nur eine Seite der Gleichung auf die andere Seite bringen. $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{20x}{1+x^2}}=x^3-x-10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{20x}{1+x^2}}-x^3+x+10=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(x)=\sqrt{\frac{20x}{1+x^2}}-x^3+x+10 \end{eqnarray}$ Nun schaust du dir die Ränder an indem du einfach die Werte einsetzt. $\begin{eqnarray} h(2)=\sqrt{\frac{20x}{1+x^2}}-x^3+x+10=... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(5)=\sqrt{\frac{20x}{1+x^2}}-x^3+x+10=... \end{eqnarray}$
14.01.2012, 12:22	spratze	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man, stimmt .. h(2) > 0, und h(5)<0 es gibt also ein x0=0 im Intervall .. x0 ist also Nullstelle ..
14.01.2012, 12:30	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas schöner aufgeschrieben, Es existiert ein $\begin{eqnarray} x_0\in [2,5] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(5)<y_0=0<h(2) \end{eqnarray}$ Dann existiert nach ZWS. $\begin{eqnarray} f(x_0)=y_0=0 \end{eqnarray}$ . hangman!
14.01.2012, 12:35	spratze	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke schön .. ich soll ja jetzt noch eine Lösung im Intervall berechnen .. wie geh ich das denn an?
14.01.2012, 12:46	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann musst du die Nullstellen berechnen. $\begin{eqnarray} h(x)=0 \end{eqnarray}$
14.01.2012, 16:29	spratze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das jetzt mit dem Bisektionsverfahren gemacht .. gibt es sonst noch andere Möglichkeiten?

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