Absolute Konvergenz von Reihen

13.01.2012, 16:25

Chrilo

Absolute Konvergenz von Reihen

Hallo

Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe auf meinem Übungsblatt.

1. Aufgabe

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz

a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^{42} }{42^{n} } \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{n} }(1+\frac{(-1)^{n}}{n})^{n²} \end{eqnarray*}$

Lösungsansätze:

zu a)

Mit Quotientenkriterium

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac{(n+1)^{42} }{42^{n+1} }}{\frac{n^{42} }{42^{n} }} = \frac{(n+1)^{42} }{42^{n+1}} * \frac {42^{n}} {n^{42} } \end{eqnarray*}$

Durch Kürzen

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{42} }{42 * n^{42}} = (\frac{n + 1}{n})^{42}* \frac{1}{42} = 1 * \frac{1}{42} \end{eqnarray*}$

Folge konvergiert da <1

zu b)

Mit Wurzelkriterium

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{1}{3^{n}}*(1+\frac{(-1)^n}{n} })^{n²} \end{eqnarray*}$

Wurzel fällt weg

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*(1+\frac{(-1)^{n}}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$

Hoch n Klammer auflösen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*(1^{n}+(\frac{(-1)^n}{n}) ^{n}) \end{eqnarray*}$

Der hintere Teil läuft gegen 0 und somit gesamte Ausdruck gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Hilfe

Könnt ihr bitte mal drüber schauen.
Gerade beim Aufgabenteil b) bin ich mir nicht sicher.

13.01.2012, 19:24

Iorek

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RE: Absolute Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von Chrilo

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*(1+\frac{(-1)^{n}}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$

Hoch n Klammer auflösen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*(1^{n}+(\frac{(-1)^n}{n}) ^{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n\neq a^n+b^n \end{eqnarray*}$

13.01.2012, 21:53

Chrilo

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Oh ja..stimmt geschockt

Aber könnte man nicht auch ohne diesen Schritt schon schließen, dass $\begin{eqnarray*} \frac {(-1)^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 läuft?

Könntest du vlt. auch meine andere Lösung kommentieren? Danke

13.01.2012, 21:57

Iorek

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Die erste Reihe ist nach dem Quotientenkriterium absolut konvergent, ja.

Und nein, das kann man nicht. Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\left(1+\frac 1n\right)^n \end{eqnarray*}$ sollte dir bekannt sein, diese konvergiert aber nicht gegen 1, auch wenn $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert. Übrigens kannst du diese Folge auch bei deiner Aufgabe verwenden.

13.01.2012, 22:31

Chrilo

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Die von dir genannten Folge läuft gegen e. Allerdings gibt es hier noch das minus zu beachten, richtig?

14.01.2012, 11:03

Chrilo

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Okay, hier mein neuer Vorschlag. Ich würde jetzt eine Fallunterscheidung vornehmen bezüglich n=gerade und n= ungerade

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{1}{3^{n}}*(1+\frac{(-1)^n}{n} })^{n²} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*(1+\frac{(-1)^{n}}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$

1. Fall: n= ungerade

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*(1-\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty } \frac {1}{3}*\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

ergibt ungefähr 0,12263

2. Fall: n=gerade

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*(1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty } \frac {1}{3}*e \end{eqnarray*}$
ergibt ungefähr 0,90601

Demnach wäre es in beiden Fällen auch absolut konvergent, oder?
Ist denn eigentlich der Schritt von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^{n}} zu \frac {1}{3} \end{eqnarray*}$ richtig?

14.01.2012, 15:40

Iorek

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Jetzt sieht es soweit gut aus. smile

14.01.2012, 15:49

Chrilo

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Gut, dann vielen Dank für deine Hilfe :-)

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