beschränkte Funktion

13.01.2012, 17:29	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
beschränkte Funktion Meine Frage: "Die funktion $\begin{eqnarray} f: (0,1)\to \mathbb R ,~ x\mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ ist nach oben nicht beschränkt." Meine Ideen: Mit diesem satz hab ich so meine probleme. Wenn das intervall so aussähe [0,1), dann wäre es klar, weil $\begin{eqnarray} \frac{1}{x}\to \infty ~(x\to 0 ) \end{eqnarray}$ . Aber für x > 0 ist doch $\begin{eqnarray} f(x)<\infty \end{eqnarray}$ , weil ich ja zu jedem noch so kleinen x > 0 einen konkreten f(x)-wert angeben kann. Deswegen verstehe ich nicht warum f nicht nach oben beschränkt ist... kann mir jemand helfen?
13.01.2012, 17:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach oben beschränkt heißt, dass du ein M angeben kannst, so dass f(x) < M für alle x aus dem Definitionsbereich. Kann es so ein M geben?
13.01.2012, 17:50	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
nein kann ich nicht. Mir fällt nur nicht ein wie ich das auch beweisen kann... hast du mir da ein tipp?
13.01.2012, 17:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht ganz schnell über einen Widerspruch: Angenommen es gibt so ein M mit f(x) < M. Jetzt musst du nur noch ein y finden, so dass f(y) > M ist. (Tipp: das y wird von M abhängen)
13.01.2012, 18:07	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{x}<M \Leftrightarrow \frac{1}{M}<x \end{eqnarray}$ , d.h. f(x) ist nur kleiner als M, wenn x größer als 1/M ist. Für $\begin{eqnarray} y\leq \frac{1}{M} \end{eqnarray}$ ist f(y) aber nicht mehr kleiner. ohjee... stimmt das so? ich hab mich da total unsicher gefühlt...
13.01.2012, 18:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt so (Auch wenn es dann reicht ein explizites y zu nehmen, z.B. $\begin{eqnarray} y = 1/(M+1) \end{eqnarray}$ . Dann steht da $\begin{eqnarray} f(x) < M \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} f(y) = M+1 > M \end{eqnarray}$ . Alles was dann noch bleibt sich ein paar Feinheiten: z.B. stimmen deine Umformungen nur für $\begin{eqnarray} M > 0 \end{eqnarray}$ , und du musst noch sagen, warum dein gewähltes y noch im Definitionsbereich der Funktion ist, aber sind alles nur technische Feinheiten.
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13.01.2012, 18:28	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank dass M>0 ist kann ich ja oBdA annehmen oder? weil z.B. für M=1 lässt sich ja ein x finden, so dass f(x)>M=1. ahja.. und y ist noch im definitionsbereich der funktion, weil hm... weiß nicht, der geht ja nur von (0, 1)^^ ohje^^
13.01.2012, 18:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass M > 0 ist, kannst du so begründen. Andererseits, selbst wenn es ein M = - 1000 mit der Eigenschaft gibt, ist M = 1 auch eine obere Schranke. Und y ist für gewisse M>0 auch nicht im Intervall (0,1) - deswegen muss man ein bisschen aufpassen. Für positive ist 1/M schonmal größer als 0. Jetzt musst du nur dafür sorgen, dass es kleiner als 1 ist.
13.01.2012, 20:16	Eisvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, ich habs vielen lieben dank

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