bestimmen von regulären Matrizen

14.01.2007, 14:25

nixCheck

bestimmen von regulären Matrizen

Hallo ich muss gerade die folgende Aufgabe lösen und hab einfach keinen Plan wie ich das anstelle.

http://semesterlinks.se.funpic.de/Bild%204.jpg
Den ersten Teil mit den Eigenwerten und Vektoren hab ich gelöst. Die regulären Matrizen S und T werden doch dann von den normierten EV aufgespannt oder? Aber was ich mit dem ganzen Rest anfangen soll weiß ich wirklich nicht.
Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen?
Was soll dieses ",so dass $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T^{-1}BT \end{eqnarray*}$ Diagonalgestalt besitzen" bedeuten? Ich kann da irgendwie nix mit anfangen

14.01.2007, 15:15

ArminTempsarian

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RE: bestimmen von regulären Matrizen
D.h. du sollst A bzw. B diagonalisieren.

Falls die Eigenvektoren von A bzw. B eine Basis bilden, ist $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix.

Zitat:

Die regulären Matrizen S und T werden doch dann von den normierten EV aufgespannt oder?

Matrizen werden nicht "aufgespannt". Wenn $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ die Eigenvektormatrix bezeichnet, und die Eigenvektoren eine Basis bilden, so ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ invertierbar, also regulär. D.h. dass die Abbildung, die durch A beschrieben wird, bzgl. der Eigenvektorbasis Diagonalgestalt besitzt.

Gruß Armin

14.01.2007, 15:44

nixCheck

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Also ich hab für die Eigenwerte von A

-1 und 1

daraus folgen dann die EV
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{25}} \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{25}} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus folgt doch dann S= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \frac{-4}{\sqrt{25}} & \frac{3}{\sqrt{25}} \\ \frac{3}{\sqrt{25}} & \frac{4}{\sqrt{25}} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ oder?
Dann die Inverse von S mittels Gauß berechnen und schauen dass nur auf der diagonalen Zahlen ungleich 0 stehen oder?

Is das die richtige Vorgehensweise?

14.01.2007, 16:05

ArminTempsarian

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Eigenwerte stimmen.

Eigenvektoren sehen auch gut aus.

Auf jeden Fall musst du sie nicht normieren. Gefragt ist ja nur nach regulären Matrizen, nicht nach orthogonalen. (obwohl natürlich die Eigenvektoren orthogonal aufeinander stehen müssen, da A symmetrisch ist.)
Prinzipiell stimmts aber so.

Danach einfach S invertieren und die aus $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ resultierende Matrix wird Diagonalgestalt haben.

Gruß Armin

14.01.2007, 16:15

nixCheck

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Zitat:

Original von ArminTempsarian
Eigenwerte stimmen.

Eigenvektoren sehen auch gut aus.

Auf jeden Fall musst du sie nicht normieren. Gefragt ist ja nur nach regulären Matrizen, nicht nach orthogonalen. (obwohl natürlich die Eigenvektoren orthogonal aufeinander stehen müssen, da A symmetrisch ist.)
Prinzipiell stimmts aber so.

Danach einfach S invertieren und die aus $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ resultierende Matrix wird Diagonalgestalt haben.

Gruß Armin

heißt das ich kann anstelle der Normierten EV auch diese zwei nehmen? $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.01.2007, 16:29

ArminTempsarian

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Im Prinzip ja.

Das gute an orthogonalen matrizen (also mit normierten orthogonalen Vektoren) ist halt, dass $\begin{eqnarray*} S^TS = I \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} S^T = S^{-1} \end{eqnarray*}$ . Du ersparst dir also das Invertieren und nimmst einfach die Transponierte.

Gruß Armin

14.01.2007, 17:57

nixCheck

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Also ich hab jetzt für die Inversse $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \frac{-4}{25} & \frac{3}{25} \\ \frac{3}{25} & \frac{4}{25} \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ raus. aber die Transponierte bedeutet doch bloß Zeilen und Spalten vertauschen is mein Ergebniss jetzt falsch oder richtig. Achso als Ausgangsmatrix hab ich die einfache von meinem Post davor genommen

14.01.2007, 19:01

ArminTempsarian

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Zitat:

aber die Transponierte bedeutet doch bloß Zeilen und Spalten vertauschen

Richtig.

Und wenn du mit 25 die Wurzel aus 25 meinst, dann gilt, wie ich gesagt habe: $\begin{eqnarray*} S^{-1} = S^T \end{eqnarray*}$ (sieh dir deine Matrix und die - korrigierte - Inverse mal genau an).

Gruß Armin

14.01.2007, 20:31

nixCheck

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Irgendwie bekomm ich ständig wenn ich $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ ausrechne

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 0,616 & 0,672 \\ 0,3136 & -1,2352 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ raus das kann aber doch nicht stimmen oder?

14.01.2007, 21:02

ArminTempsarian

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Zitat:

das kann aber doch nicht stimmen oder?

Kann es nicht.

Also ich bekomm:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß Armin

14.01.2007, 21:08

nixCheck

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also ich hab einfach die ersten beiden Multipliziert und dann die dritte dazu das is schon richtig oder?

14.01.2007, 21:26

ArminTempsarian