Invertierbar über bestimmte Körper

Neue Frage »

13.01.2012, 21:21	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbar über bestimmte Körper Ich soll zeigen, dass Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &0 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ über den Körpern $\begin{eqnarray} \mathbb Q \mathbb R und \mathbb C \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Und Inverse soll ich auch ausrechnen. Inverse habe ich ausgerechnet, es kommt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 &0 \\0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus Ich weiss jetzt nicht wie ich zeigen soll dass diese Matrix über obengenannte Körpern invertierbar ist... Kann mir wer da weiterhelfen?
13.01.2012, 21:24	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was stehen dir denn für Werkzeuge zur Verfügung? Elegant würde es hier etwa über die Determinante gehen. Andererseits hast du es auch schon gelöst, eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ heißt invertierbar, wenn es eine (eindeutig bestimmte) Matrix $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} AB=BA=I_n \end{eqnarray}$ . Du könntest also auch durch simples Nachrechnen beweisen, dass die Matrix invertierbar ist.
13.01.2012, 21:26	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das ist mir e klar, aber ich muss zeigen, dass diese Matrix über bestimmte Körpern, also über Körper $\begin{eqnarray} \mathbb R \mathbb Q \mathbb C \end{eqnarray}$ invertierbar ist.
13.01.2012, 21:29	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die Einträge sind jeweils rationale, reelle oder komplexe Zahlen, von daher sind sie über diesen Körpern invertierbar.
13.01.2012, 21:31	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte als Beweis reichen? Oder gibt es noch irgendwelche Möglichkeit um das zu zeigen? Es kommt mit bissi zu kurz vor, da das ein Bsp. ist was wir in Übungen präsentieren müssen
13.01.2012, 21:34	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann muss ich noch sagen ob die Matrix über den Körper $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \mathbb Z_5 oder \mathbb Z_7 \end{eqnarray}$ invertierbar ist...
Anzeige

13.01.2012, 21:44	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt natürlich noch andere Nachweismöglichkeiten, die angesprochene Möglichkeit über die Determinante ist angesichts der weiteren Fragen sehr gut dafür geeignet. Ansonsten wäre es ein korrekter Nachweis, wenn du die Inverse berechnest und angibst.
13.01.2012, 21:47	Terra1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja schon eine Inverse berechnet (über Q) und da: $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset\mathbb{C} \end{eqnarray}$ reicht es. Jetzt überlegst du noch wie $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ etc. aussehen...
13.01.2012, 21:49	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich da jetzt determinante verwende, muss ich "Diagonalelemente" multiplizieren, also in dem fall 123=6, also 6 $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ , also ist die Matrix invertierbar. Ist das richtig? Und wie sehe ich ob sie über $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \mathbb Z_5 \mathbb Z_7 \end{eqnarray}$ invertierbar ist? Muss ich mir da determinante ansehen?
13.01.2012, 21:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 6\neq 0 \end{eqnarray}$ , also ist die Matrix invertierbar, ja. Für die anderen Körper funktioniert das auch, du müsstest nur evtl. das Ergebnis an den Körper anpassen (so ist etwa $\begin{eqnarray} 0=2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_2 \end{eqnarray}$ ).
13.01.2012, 21:59	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht ganz wie ich das anpassen muss / soll? Kannst du mir da genauer helfen, ich habe da noch 2 MAtrizen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 3 & 0\\0&0&0&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&0&0 \\ 0 & 2 & 0&0&0 \\ 0 & 0 & 3 &0 &0 \\0&0&0&4&0 \\0&0&0&0&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und welche von diesen 3 sind über $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \mathbb Z_5 \mathbb Z_7 \end{eqnarray}$ invertierbar ? Kannst du mir mit einer Matrix das zeigen, damit ich das konkret sehe danke
13.01.2012, 22:04	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir betrachten die Matrix A mal über $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ . Als Determinante erhalten wir wieder $\begin{eqnarray} \det(A)=6 \end{eqnarray}$ . Nun gilt aber $\begin{eqnarray} 6=2\cdot 3 = 0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ , also ist die Matrix über $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ nicht invertierbar.
13.01.2012, 22:07	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie kommst du auf 6=2*3=0...also 6 ist mir klar ist determinante, aber weiter....???
13.01.2012, 22:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
In $\begin{eqnarray} \mathbb Z_3 \end{eqnarray}$ gilt nunmal $\begin{eqnarray} 3=0 \end{eqnarray}$ , somit also auch $\begin{eqnarray} 6=2\cdot\underbrace{3}_{=0}=0 \end{eqnarray}$ .
13.01.2012, 22:16	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, und wenn ich das mit A weiter nachprüfen will,und zwar für $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5 \mathbb Z_ 7 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5 = 5 = 0 \end{eqnarray}$ , also da kommt nicht Null raus, da wir 5 mit keinen Zahl multiplizieren können damit wir 6 kriegen, und für $\begin{eqnarray} \mathbb Z_7=7=0 \end{eqnarray}$ , da kommt wieder nicht Null raus... hab ich das jetzt richtig verstanden? Also ich die Matrix A über $\begin{eqnarray} \mathbb Z_5 \mathbb Z_ 7 \end{eqnarray}$ invertierbar
13.01.2012, 22:19	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, über den anderen Körpern ist die Matrix jeweils invertierb. Aber deine Schreibweise ist nicht ganz korrekt, $\begin{eqnarray} Z_5=5 \end{eqnarray}$ ergibt keinen Sinn. Du solltest dich vielleicht noch einmal in die Eigenschaften von endlichen Körpern einlesen, das könnte ganz hilfreich sein.
13.01.2012, 22:23	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke vielmals....
13.01.2012, 22:24	Terra1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstanden hast du, dass in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ 3=0 ist. Vielleicht schaust du dir nochmal http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_Körper an um zu verstehen warum das so ist
13.01.2012, 22:26	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, mach ich...danke

Neue Frage »

Antworten »

Invertierbar über bestimmte Körper

Verwandte Themen