Schweizer Mathe Oberstufe Einführung / Expofkt.

13.01.2012, 23:22

michael74

Schweizer Mathe Oberstufe Einführung / Expofkt.

Hallo Zusammen,

es geht um das oben geschriebene Buch Seite 59 Aufgabe 3
Ein von der der Zeit t abhäniger Bestand kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t) = 20*0,95^t (t in Tagen) beschrieben werden.

a) Wie groß ist der Bestand nach 3,4,8,16 und 24 Std. ( ok verstanden für t alles einsetzen)
b) Wie groß ist der Bestand vor einem, zwei und drei Tagen? (ok verstanden für t = -1 - 2 - 3 eingesetzt.

c) Gib die tägliche und die wöchentliche Abnahme in Prozent an? hääääääääää

Was sind denn da 100% und der Wert der Prozentrechnung ich weiss es nicht sorry.

Michael

13.01.2012, 23:59

frank09

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RE: Schweizer Mathe Oberstufe Einführung / Expofkt.
Beispiel:
heute 10, morgen 15 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Zunahme 5 von ursprünglich 10 = $\begin{eqnarray*} \frac{5}{10} \end{eqnarray*}$ =0,5 =50%

oder

heute 7(=100%) , morgen 11 = $\begin{eqnarray*} \frac{11}{7} \end{eqnarray*}$ =1,57=157% $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Zunahme 57%

14.01.2012, 00:46

Mathe-Maus

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RE: Schweizer Mathe Oberstufe Einführung / Expofkt.
c) Oh nein Michael, Du weisst es eigentlich ... hast es nur noch nicht bemerkt!

Denke mal an das schnöde Geld. Die Zinseszinsformel lautet:

$\begin{eqnarray*} K_{n}=K_{0} \cdot q^{n}=K_{0}\cdot (\frac{100+p}{100} )^n \end{eqnarray*}$

Du hast Schulden in Höhe von $\begin{eqnarray*} K_{0} \end{eqnarray*}$ . Jeden Tag reduzieren sich Deine Schulden um p = x% .

Tagliche prozentuale Abnahme ist p, da der Exponent t in Tagen gesetzt ist. Wie groß ist p?

Probe:
t=0 .... $\begin{eqnarray*} K_{0}= \end{eqnarray*}$
t=1 .... $\begin{eqnarray*} K_{1}= \end{eqnarray*}$
t=3 .... $\begin{eqnarray*} K_{2}= \end{eqnarray*}$
t=4 .... $\begin{eqnarray*} K_{3}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_{1}/K_{0}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_{2}/K_{1}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_{3}/K_{2}= \end{eqnarray*}$

Erkennst Du eine Gesetzmäßigkeit?
Um wie viel Prozent sinkt die Schuldensumme K täglich ?

LG Mathe-Maus

17.01.2012, 13:49

michael74

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RE: Schweizer Mathe Oberstufe Einführung / Expofkt.

Zitat:

Original von Mathe-Maus

$\begin{eqnarray*} K_{n}=K_{0} \cdot q^{n}=K_{0}\cdot (\frac{100+p}{100} )^n \end{eqnarray*}$

Probe:
t=0 .... $\begin{eqnarray*} K_{0}= \end{eqnarray*}$
t=1 .... $\begin{eqnarray*} K_{1}= \end{eqnarray*}$
t=3 .... $\begin{eqnarray*} K_{2}= \end{eqnarray*}$
t=4 .... $\begin{eqnarray*} K_{3}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_{1}/K_{0}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_{2}/K_{1}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K_{3}/K_{2}= \end{eqnarray*}$

Is dann K0 = 20 und p= 0,95^-1
Ich kann das nicht zu ordnen ...

Michael

17.01.2012, 17:30

Mathe-Maus

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RE: Schweizer Mathe Oberstufe Einführung / Expofkt.
Hallo Michael,
Du musst schon etwas sorgfältiger lesen, dann kommst Du auch weiter.
Ja, $\begin{eqnarray*} K_0=20 \end{eqnarray*}$

Deine Formel:
$\begin{eqnarray*} f(t)=20 \cdot 0,95^{t} \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Zinseszinsformel:
$\begin{eqnarray*} K_{n}=K_{0} \cdot q^{n} \end{eqnarray*}$

Du kannst somit den Anfangsbestand $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ und den "Wachstumsfaktor" q direkt ablesen.
(Den Anfangsbestand hättest Du auch berechnen können, wenn Du für t=0 einsetzt.)

Weiterhin kannst Du auch erkennen, dass $\begin{eqnarray*} q=(\frac{100+p}{100} ) \end{eqnarray*}$ ist.
Nun berechne p.

Mache die Probe und Du findest Deinen Wachstumsfaktor wieder!
(Vorgehensweise siehe im Post zuvor.)

---------------------
Anderer Weg zur Berechnung der prozentuale Abnahme (je Tag) = p.

$\begin{eqnarray*} \frac{K_{0} }{100%}=\frac{K_{1} }{x} \end{eqnarray*}$

x ist der Prozentwert, auf den die Summe am Tag 1 gesunken ist.
Die Differenz zu 100% (=Startwert am Tag 0) ergibt den Prozentsatz p.

Beispiel: Wenn x=80% wäre, dann ist p=100%-80% = 20%.
Die Summe wäre dann um 20% gesunken.

--------------------------------------

So, jetzt bist Du aber erstmal dran ...
LG Mathe-Maus

17.01.2012, 21:44

michael74

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K0 = 20*0,95^0= 20 k0= 20
K-1 = 20*0,95^-1= 21,05 k1 = 19
K-2 = 20*0,95^-2 = 22,16 k2 = 18,05
K-3 = 20*0,95^-3 = 23,33 k3 = 17,4

jetzt:

k-1 = 100%
k1 = x? = 90%

100-90 = 10%

usw. ?

Michael

17.01.2012, 21:48

Mathe-Maus

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$\begin{eqnarray*} \frac{K_{0} }{100%}=\frac{K_{1} }{x} \end{eqnarray*}$

Hier bitte noch mal das x berechnen. Deine Antwort war nicht richtig.

18.01.2012, 05:17

michael74

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$\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{k1}{k0} * 100 = \frac{19}{20} = 95% <br /> <br /> x_{2} = \frac{k2}{k0} * 100 = \frac{18,05}{20}*100 = 90,25% \end{eqnarray*}$

18.01.2012, 18:48

Mathe-Maus

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$\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{k1}{k0} * 100 = \frac{19}{20} = 95% \end{eqnarray*}$

Richtig Freude

Der Bestand am Tag 0 war 20 = 100%
Der Bestand am Tag 1 war 19 = 95%

Damit beträgt die tägliche prozentuale Abnahme (von Tag 0 zu Tag 1) = 5%.

-------------------------------------------------------------------

Wie groß ist die prozentuale Abnahme von Tag 1 zu Tag 2 ?

Die gleiche Formel, jedoch $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K2 \end{eqnarray*}$ einsetzen !
Das heisst, der Bestand von Tag 1 wird 100% gesetzt und dann der Bestand am Tag 2 berechnet.

LG Mathe-Maus

18.01.2012, 21:05

michael74

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Vielen Dank für Deine Hilfe und Geduld Freude

18.01.2012, 21:15

Mathe-Maus

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Das Ganze hättest Du aber auch viel einfacher haben können, wenn Du meinen Hinweisen oben zur Berechnung von p gefolgt wärest ...

q = 0,95 (Wachstumsfaktor)

$\begin{eqnarray*} q=(\frac{100+p}{100} ) \end{eqnarray*}$

Umstellen nach Prozentsatz p und ausrechnen ... Augenzwinkern

19.01.2012, 19:47

michael74

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$\begin{eqnarray*} p = \frac{100}{0,95^{-1}* 100 } oder +1? \end{eqnarray*}$

Michael

19.01.2012, 23:35

Mathe-Maus

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Hallo Michael,
wie willst Du Exponentialgleichungen lösen, wenn Du eine einfache Formel nicht mal umstellen kannst ?

q=0,95 , das hast Du richtig erkannt.

$\begin{eqnarray*} 0,95=(\frac{100+p}{100} ) \end{eqnarray*}$

Jetzt * 100, daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} 0,95 \cdot 100 ={100+p} \end{eqnarray*}$

Jetzt -100, daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} (0,95 \cdot 100)-100 =p \end{eqnarray*}$

Nun rechne nochmal ...
Hinweis: Da es um eine Abnahme geht, muss ein negativer Prozentsatz rauskommen.

LG Mathe-Maus

20.01.2012, 18:38

michael74

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= -5 --> 100%-5% = +95 somit identisch wie mit der anderen Rechnung (Vergleich 0 mit 1erstem Tag)

20.01.2012, 23:52

Mathe-Maus

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Sehr schön Freude

Du weisst jetzt, das die tägliche Abnahme 5% ist.

Man kann auch schreiben, der Prozentsatz ist -5%.
Prozentsatz ist allgemein, dass minus sagt uns, es geht um Abnahme.

-----------

So, und jetzt zur wöchentlichen Abnahme:

Berechne K am Tag 7.

Nehme anschließend die Formel $\begin{eqnarray*} \frac{K_{0} }{100%}=\frac{K_{1} }{x} \end{eqnarray*}$ und trage jetzt statt $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ den Wert für $\begin{eqnarray*} K_7 \end{eqnarray*}$ ein.

1) Auf wieviel Prozent sinkt der Ausgangswert am Tag 7 ?
2) Um wieviel Prozent ist der Ausgangswert am 7.Tag gesunken ?

LG Mathe-Maus Wink

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