Anzahl der Lösungen der Gleichung bestimmen

14.01.2012, 03:44	Darren	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Lösungen der Gleichung bestimmen Hallo, ich sitze leider schon seit Stunden an dieser Aufgabe und komme nicht so wirklich weiter. Bestimmen sie die Anzahl der Lösungen $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ der Gleichung $\begin{eqnarray} x= \frac{w}{1+e^{-x}} +c \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} w>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Meine Versuche: Ich habe den Graphen $\begin{eqnarray} \frac{w}{1+e^{-x} } +c -x \end{eqnarray}$ mal geplottet und geguckt, wo Nullstellen sein könnten. Ich erkenne, dass w die Steigung an der Stelle zwischen x=-2 und x=2 beeinflusst, sodass je größer w wird desto deutlicher fallen die lokalen Extremenstellen aus bzw ihre Steigung. Wenn man also w größer als 1 wählt und mit c es geeignet nach unten verschiebt sind drei Nullstellen (bzw. Lösungen) vorhanden. Bilden die lokalen Extrema nicht die Nullstellen, weil c nicht geeignet gewählt wurde, dann existiert nur eine Nullstelle, nämlich im Punkt x=w+c. Aber wie beweist man das? Sind meine Überlegungen überhaupt richtig? Ich bin für jeden Tipp oder Ansatz äußerst dankbar. Viele Grüße Darren
14.01.2012, 19:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das Problem auf die Schnittpunkte der Graphen zweier Funktionen zurückführen: $\begin{eqnarray} f_1: \ \frac w {1 + e^{-x}} \quad f_2: \ -x + c \end{eqnarray}$ f1 ist stets positiv (w > 0), deren Monotonie, Stetigkeit und Grenzwert sind zu prüfen ... f2 (die Gerade) kann beliebig parallel verschoben werden, an der Anzahl der Schnittpunkte wird sich nichts ändern ... mY+
15.01.2012, 15:05	Darren	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die Idee die Gleichung in zwei Funktion zu überführen finde ich ganz gut, aber ich habe irgendwie zwei andere gewählt und bekomme bei richtiger Verschiebung mit c auf drei Schnittpnkte und sonst auf 1. $\begin{eqnarray} x=\frac{w}{1+e^{-x} } +c <=> x-c=\frac{w}{1+e^{-x} } \end{eqnarray}$ Ich habe also als die Funktionen $\begin{eqnarray} f_{1}: \frac{w}{1+e^{-x} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{2}: x-c \end{eqnarray}$ . Ich habe also einen steigenden Graph. Bei z.B. w=15 und c=(-7,5) habe ich auch mal drei Schnittpunkte statt einen. Die Schnittpunkte sind an der Stelle (-7/0), (0/7,5), (7/15), laut GTR. Liege ich richtig oder bin ich jetzt total flasch? Eine Beweisidee habe ich immer noch nicht, denn gleichsetzen und auflösen klappt irgendwie nicht. Ich hoffe ihr könnt mir noch helfen. Viele Grüße Darren
15.01.2012, 22:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, du hast Recht! Ich sehe gerade, dass meine Gerade nicht stimmt. Denn es handelt sich um die steigende y = x - c und nicht um die fallende y = c - x. Sorry für das Versehen! Zur Lösung wird man voraussichtlich nicht um Fallunterscheidungen herumkommen. mY+

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