Gleichmäßige Stetigkeit und Grenzwert

14.01.2012, 07:59	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit und Grenzwert Also, ich habe kürzlich eine Aufgabe bearbeitet, in der man zeigen soll, dass die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind: $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} , a < b \end{eqnarray}$ , dann ist zu zeigen, dass dann für $\begin{eqnarray} f: [a, b) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ folgende Aussagen äquivalent sind: (a) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to b}f(x) \end{eqnarray}$ existiert. (b) auf [a, b) ist f gleichmäßig stetig. Nun, ich habe eine Lösung, in der einen Richtung bin ich mir recht sicher, bei der anderen bin ich mir sehr unsicher, weil der Weg irgendwie zu simpel ist, da habe ich sicher zu einfach gedacht bzw. da war wohl der Wunsch der Vater des Gedankens... Also: 1. (a) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ (b) habe ich mithilfe einer Hilfsfunktion versucht zu lösen, und zwar h(x) = f(x) f. $\begin{eqnarray} x \in [a, b) \end{eqnarray}$ und h(x) = $\begin{eqnarray} \lim_{x \to b}f(x) \end{eqnarray}$ f. x = b. h(x) ist dann stetig auf [a, b], da f auf [a, b) stetig ist und h ist auch stetig in x = b, da der obige Grenzwert existiert. [a, b] ist kmpakt, somit ist h glm. stetig auf [a, b]. Da h(x) = f(x) für $\begin{eqnarray} x \in [a, b) \end{eqnarray}$ , ist f. glm stetig auf [a, b).
14.01.2012, 08:22	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
2. Die Rückrichtung wollte ich mittels der Kontraposition beweisen, d.h. $\begin{eqnarray} \neg a \Rightarrow \neg b \end{eqnarray}$ , d.h, der obige Grenzwert existiert nicht, d.h. nach Cauchy gilt: $\begin{eqnarray} \exists \epsilon > 0 \forall \delta > 0: x, y \in \dot{B}_{\delta / 2} (b)\cap [a, b) \wedge \|f(x)-f(y)\|\geq\epsilon \end{eqnarray}$ . D.h. es gibt nicht für jedes Epsilon ein passendes Delta, so dass die Konvergenzbedingung erfüllt ist. Das heißt: $\begin{eqnarray} \|x-b\|<\delta / 2, \|y-b\|<\delta / 2 \end{eqnarray}$ , dann: $\begin{eqnarray} \|x-y\|=\|x-b-y+b\|\leq \|x-b\| + \|b-y\| < \delta / 2 + \delta / 2 = \delta \end{eqnarray}$ , d.h. für x, y in der punktierten Delta-Umgebung von oben gilt auch: $\begin{eqnarray} \|x-y\|<\delta \end{eqnarray}$ , aber nach gilt trotzdem: $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\|\geq \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall \delta > 0 \end{eqnarray}$ . D.h. es gilt dann $\begin{eqnarray} \neg (b) \end{eqnarray}$ .
15.01.2012, 10:32	KnowingLizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre echt toll, wenn mir doch noch irgendjemand helfen könnte Wahrscheinlich hatte ich meine Frage zu einer recht ungünstigen Zeit eingestellt Ich bin jedenfalls jeder Hilfe sehr, sehr dankbar

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