Ist diese Menge ein Ring?

14.01.2012, 12:52	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist diese Menge ein Ring? Hallo! Gegeben ist: $\begin{eqnarray} ({(a_{n} ) n \in \mathbb R ^\mathbb N 0 \| \exists k: a_{m} = 0 \forall m\geq k}, +, ) \end{eqnarray*}$ Ist es richtig, dass es sich hierbei um den Ring der Polynome über R handelt?
14.01.2012, 13:03	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Multiplikation * entsprechend definiert ist, handelt es sich in der Tat um den Polynomring. Wenn * komponentenweise definiert ist, dann nicht.
14.01.2012, 13:07	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
Addition und Multipilkation sind hier punktweise definiert. Punktweise heißt komponentenweise, oder? Dann ist es wohl kein Polynmring....
14.01.2012, 13:13	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es denn überhaupt ein Ring? Wie prüfe ich das hier konkret nach?
14.01.2012, 13:17	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist ein Ring (ohne 1). Die Eigenschaft werden alle von $\begin{eqnarray} \mathbb R^\mathbb N \end{eqnarray}$ vererbt. Diese Menge ist nämlich sogar ein Ideal in $\begin{eqnarray} \mathbb R^\mathbb N \end{eqnarray}$
14.01.2012, 13:27	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich beispielsweise das Distributivgesetz hier nachprüfe (das reicht ja egtl, wg der Kommutativität des Ringes), dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} a_{n} (b_{n} + c_{n} ) = \sum\limits_{k+l=n} a_{k} * (b_{l}+c_{l} ) = \left(...\right) = a_{n} b_{n} a_{n} * c_{n} \end{eqnarray*}$
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14.01.2012, 13:29	Quad84	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie verhält es sich denn mit diesem Beispiel: (2 Z $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ 3 Z, +, *) Hier ist die Menge ja schon gar nicht additiv abgeschlossen, da doch z.B. (-2) + 3 = 1 nicht in der obigen Menge liegt, oder?

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