Ring - Restklasse - Körper

14.01.2012, 13:34

Quad84

Ring - Restklasse - Körper

Es wird der Ring R = Z_2 [X] / (X^2 + X + 1) definiert und man setzt

alpha = X + (X^2 + X + 1) in R.

Es sei f:= X^3 + alpha*X + 1 in R[X]. Ist der Ring F = R[X]/f ein Körper?

Wie gehe ich an diese Aufgabe ran?
In einer ähnlichen Aufgabe habt ihr mir dazu geraten, nach den NST des Polynoms in Grundkörper zu suchen. Mache ich das hier auch so?

14.01.2012, 13:45

Quad84

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Auch auf die Gefahr hin, dass meine Überlegungen doch völlig falsch sind, poste ich sie mal. Aus Fehlern lernt man ja ;-)

$\begin{eqnarray*} x^{x} * \alpha *x + 1 , \alpha = x+(x^{2} + x +1)<br /> <br /> \Rightarrow 2x^{3} + 2x^{2} + x +1 = 0<br /> \Rightarrow x^{3} + x^{2} + \frac{1}{2} * x + \frac{1}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Es ex. 3 Nullstellen:

x = -1
x = -0,70710*i
x = 0,70710*i

Es sind also keine NST im Grundkörper enthalten. Demnach ist das Polynom irreduzibel und damit ist F ein Körper!

Was meint ihr dazu?

14.01.2012, 13:57

tmo

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Was machst du denn da? Und was soll i sein? Wir sind ja in einem Körper mit endlicher Charakteristik, da hat i nichts zu suchen.

R (ein Körper) hat vier Elemente: $\begin{eqnarray*} 0,1,\alpha,\alpha+1 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die charakteristische Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \alpha^2=\alpha+1 \end{eqnarray*}$ hat.

Damit kannst du nun ganz einfach überprüfen, ob f Nullstellen hat. Setze einfach diese 4 Elemente ein und schaue ob 0 rauskommt.

14.01.2012, 14:13

Quad84

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Vielen Dank für deine Hilfe!

Woran erkenne ich denn aber all das, was du mir eben gemailt hast?
V.a., warum gilt alpha^2 = alpha + 1?

Ich habe mich noch nicht so ausfürhlich mit diesem Themengebiet befasst..... unglücklich

14.01.2012, 14:18

Quad84

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setze ich die 4 elemente ein, so bekomme ich nicht 0 raus.
also hat f keine nst und ist damit irreduzibel --> Körper

14.01.2012, 14:33

tmo

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Zitat:

Original von Quad84
V.a., warum gilt alpha^2 = alpha + 1?

Hat man ganz allgemein ein irreduzibles Polynom $\begin{eqnarray*} h \in K[X] \end{eqnarray*}$ und setzt $\begin{eqnarray*} \alpha := X + (h) \in K[X]/(h) \end{eqnarray*}$ , so ist immer $\begin{eqnarray*} h(\alpha)=0 \end{eqnarray*}$ .

In unserem Fall ist $\begin{eqnarray*} h = X^2+X+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K = \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} \alpha^2+\alpha+1=0 \end{eqnarray*}$ . Das sieht im ersten Moment also nach
$\begin{eqnarray*} \alpha^2=-(\alpha+1) \end{eqnarray*}$ aus, jedoch sind wir in einem Körper der Charakteristik 2, da ist $\begin{eqnarray*} -1=1 \end{eqnarray*}$

15.01.2012, 11:27

Quad84

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Vielen Dank für die gute Erklärung! Woher weißt du denn das immer alles so gut? Hast du evtl nen Littipp?

Richtig ist aber, dass es sich um keinen Körper handelt, da ja keine 0 beim Einsetzen rauskomt, oder?

15.01.2012, 14:44

tmo

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Das ist eigentlich alles sehr elementar, das lernt man in den Grundvorlesungen im Bereich Algebra, ein Buch kann ich dir leider nicht empfehlen.

Du meinst am Ende eher, dass es sich um einen Körper handelt, wie du auch schon ein Post vorher vermutet hast.

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