Varianz einer Poisson-Verteilung berechnen

14.01.2012, 13:58

Jacquita

Varianz einer Poisson-Verteilung berechnen

Hallo,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht richtig weiter:

Berechnen Sie die Varianz einer zum Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ größer 0 Poisson-verteilten Zufallsvariable X. Hinweis E(x)= $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz lautet:

E(x) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ k * e^(-lamda) * (lamda^k)/k!

Für die Varianz kann ich folgende Formel verwenden: var(X) = E(X²) - (E(X))²

daher müsste ich nun E(X²) berechnen:

ist dies nun richtig oder muss irgendwie jedes k quadriert werden?

E(X²=k²)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ k² * e^(-lamda) * (lamda^k)/k!

Bis dahin erst einmal... Ich habe auch angefangen zu rechnen, aber tippe es erst ab, wenn ich weiß, ob die Ansätze richtig sind smile

Vielen Dank im voraus!

14.01.2012, 14:02

Math1986

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RE: Varianz einer Poisson-Verteilung berechnen

Zitat:

Original von Jacquita
daher müsste ich nun E(X²) berechnen:

ist dies nun richtig oder muss irgendwie jedes k quadriert werden?

E(X²=k²)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ k² * e^(-lamda) * (lamda^k)/k!

Das ist richtig:
$\begin{eqnarray*} E(X^2)= \sum\limits_{k=1}^\infty k^2 * e^{-\lambda} * \frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray*}$

14.01.2012, 14:18

Jacquita

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RE: Varianz einer Poisson-Verteilung berechnen
1. Kannst du mir dann bitte noch erklären, warum das so ist? Oder falls das gegen die Foren-Regeln verstößt, zumindestens einen Tipp geben, weshalb ich die anderen k nicht auch quadrieren muss?

2. Ich habe das dann einfach als richtig vorausgesetzt und mal weiter gemacht. Es stockt dann wieder an folgender Stelle:

$\begin{eqnarray*} E(X^2)= e^{-\lambda} * \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-2)!} * \lambda^k \end{eqnarray*}$
(durch deine Antwort, hab ich nun auch endlich Latex etwas besser verstanden - danke dafür Freude

)

Wie löse ich das auf? Ich dachte, dass die Summe e ergibt, oder habe ich die Defintion der Expenentialfunktion nicht richtig verstanden?

Dann wäre mein Ergebnis ja: $\begin{eqnarray*} e^{1-\lambda} *\lambda^2 \end{eqnarray*}$ ?
Aber das kann einfach nicht richtig sein... Daher brauche ich Hilfe dabei, wie ich das richtig auflöse.

Danke schonmal smile

14.01.2012, 14:29

Math1986

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RE: Varianz einer Poisson-Verteilung berechnen

Zitat:

Original von Jacquita
1. Kannst du mir dann bitte noch erklären, warum das so ist? Oder falls das gegen die Foren-Regeln verstößt, zumindestens einen Tipp geben, weshalb ich die anderen k nicht auch quadrieren muss?

Welche "anderen k"? verwirrt

k ist doch dein Laufindex geschockt

Zitat:

Original von Jacquita
2. Ich habe das dann einfach als richtig vorausgesetzt und mal weiter gemacht. Es stockt dann wieder an folgender Stelle:

$\begin{eqnarray*} E(X^2)= e^{-\lambda} * \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-2)!} * \lambda^k \end{eqnarray*}$

Wo ist dein $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ hin?

14.01.2012, 15:17

Jacquita

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RE: Varianz einer Poisson-Verteilung berechnen
1. Frage hat sich durch logisches Nachdenken nun von selbst gelöst Augenzwinkern

(manchmal lernt man einfach zuviel am Stück... das kann verblöden...)

zu 2. Ich habe den Ansatz $\begin{eqnarray*} E(X^2)= \sum\limits_{k=1}^\infty k^2 * e^{-\lambda} * \frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray*}$ einfach weiter ausgerechnet. ich habe k² zu k (k-1)+k verändert und die Summen dann auseinander gezogen. Dann steht dort nun: $\begin{eqnarray*} E(X^2)= \sum\limits_{k=2}^\infty k(k-1) * e^{-\lambda} * \frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty k * e^{-\lambda} * \frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray*}$ und das was rechts hinter dem + steht ist gerade = E(X)= $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
links habe ich dann aus dem Term $\begin{eqnarray*} \frac{k(k-1)}{k!} \end{eqnarray*}$ das k(k-1) rausgekürzt und dann bleibt doch nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k-2)!} \end{eqnarray*}$ übrig, oder?
Also insgesamt, das was ich vorhin gepostet habe: $\begin{eqnarray*} E(X^2)= e^{-\lambda} * \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-2)!} * \lambda^k \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
und an der Stelle brauche ich nun Hilfe, wie ich das ausrechne...

14.01.2012, 16:32

Math1986

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RE: Varianz einer Poisson-Verteilung berechnen
Bisdahin ist es richtig.

Es ist nun
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-2)!}=\lambda^2\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}=\lambda^2\cdot e^\lambda \end{eqnarray*}$
(nach Indexverschiebung)

Nun oben einsetzen und kürzen, dann bist du fertig

14.01.2012, 18:49

Jacquita

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RE: Varianz einer Poisson-Verteilung berechnen
Ok, nun ist alles verständlich! Aber hast du vielleicht noch einen Tipp, wie ich da von alleine drauf komme? Wonach muss ich schauen? ging es darum zu erkennen, dass ich nach der Exponentialfunktion umformen muss, oder wie kommt man auf die Idee dort $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ² auszuklammern?

14.01.2012, 19:21

Math1986

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RE: Varianz einer Poisson-Verteilung berechnen

Zitat:

Original von Jacquita
Ok, nun ist alles verständlich! Aber hast du vielleicht noch einen Tipp, wie ich da von alleine drauf komme? Wonach muss ich schauen? ging es darum zu erkennen, dass ich nach der Exponentialfunktion umformen muss, oder wie kommt man auf die Idee dort $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ² auszuklammern?

Einen allgemeinen Tip gibt es da nicht, es ist vor allem Ausrechnen und Ausprobieren.

Diese Reihe sollte man eben im Hinterkopf behalten Augenzwinkern

15.01.2012, 11:46

SanjoNinjaPanda

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RE: Varianz einer Poisson-Verteilung berechnen

Zitat:

Original von Jacquita
Hallo,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht richtig weiter:

Berechnen Sie die Varianz einer zum Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ größer 0 Poisson-verteilten Zufallsvariable X. Hinweis E(x)= $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich hab da was grundlegendes nicht verstanden.

Wikipedia sagt das Lambda der Erwartungswert UND die Varianz der Verteilung ist. Wäre man dann nicht sofort fertig? verwirrt

http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung

Danke für Hilfe! Freude

15.01.2012, 11:59

Math1986

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RE: Varianz einer Poisson-Verteilung berechnen

Zitat:

Original von SanjoNinjaPanda
Wikipedia sagt das Lambda der Erwartungswert UND die Varianz der Verteilung ist. Wäre man dann nicht sofort fertig? verwirrt

http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung

Diese Aussage muss ja erstmal begründet werden, so wie es dort angegeben ist.

Die Rechnung in Wikipedia ist ja derselbe Rechenweg wie Jacquita, insofern ist mir nicht klar, wo du da einen Unterschied siehst verwirrt

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