Komplexe Zahl potenzieren [re^(iphi)]

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14.01.2012, 14:42	Rosa Parks	Auf diesen Beitrag antworten »
*Komplexe Zahl potenzieren [re^(iphi)]* Meine Frage: Hallöchen, so lautet meine Aufgabe: "Wandeln Sie folgenden Term (1+i)^100 in folgende From um: re^(iphi). Meine Ideen: Wenn ich nur welche hätte...
14.01.2012, 21:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du zunächst nur 1 + i in die Polarform bzw. Exponentialform umwandeln? Dann erst potenzieren (Potenzgesetze anwenden!), es ist dann nicht mehr schwer ... mY+
14.01.2012, 21:35	Rosa Parks	Auf diesen Beitrag antworten »
danke mYthos. ich versuchs.. $\begin{eqnarray} (1+i)^{100}=e^{100ln(1+i)} \end{eqnarray*}$ . Meinst dus so?
14.01.2012, 22:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist zwar nicht falsch, bringt hier aber nichts. Ich meinte, du sollst zuerst nur (1 + i) als e-Potenz schreiben. Verwende dazu $\begin{eqnarray} z = a + bi = r \cdot e^{i \varphi} \end{eqnarray}$ r ..... Betrag von z phi .. Winkel des Zeigers mit der reellen Achse, im Bogenmaß (!) Der Winkel ist bei 1 + i sehr leicht zu sehen, der Betrag ist gleich der Diagonalen des Quadrates mit der Seitenlänge 1 (allgemein ist der Betrag gleich der Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreieckes mit den Katheten a und b). mY+
14.01.2012, 23:04	Rosa Parks	Auf diesen Beitrag antworten »
danke mYthos. das ist auch das ziel es als e-Potenz zu schreiben :-) $\begin{eqnarray} \|(1 + i)^{100}\| = \|(1 + i)...(1 + i)\| = \|1 + i\|...\|1 + i\| = \|1 + i\|^{100} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|1 + i\| = wrzl(1^2+1^2) = wrzl(2) \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \|1 + i\|^{100} = [wrzl(2)]^{100} = 2^{50} \end{eqnarray}$ ich hoffe das stimmt so schonmal...
14.01.2012, 23:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Betrag stimmt schon mal. Übrigens, die Wurzel schreibst du in LaTeX mit \sqrt --> $\begin{eqnarray} \sqrt{1^2 + 1^2} \end{eqnarray}$ Jetzt geht's nur noch um den Winkel ... mY+
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14.01.2012, 23:34	Rosa Parks	Auf diesen Beitrag antworten »
ok :-) der winkel müsste 45° sein.
14.01.2012, 23:39	Rosa Parks	Auf diesen Beitrag antworten »
das hab ich noch vergessen: $\begin{eqnarray} r e^{iphi} = r [cos (phi) + isin (phi)] \end{eqnarray}$ soll ich, falls die 45° stimmen (wobei ich mir das sicher bin:-) , die 45° für phi einsetzen?
15.01.2012, 00:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
45° stimmt. Wenn du in der trigonometrischen Schreibweise diesen Winkel umgehend einsetzst, bekommst du wieder die anfangs gegebene komplexe Zahl, also rechnest du im Kreis. Du könntest allerdings die Potenz mit der Hochzahl 100 mittels der Beziehung von Moivre ausführen (indem du den Winkel mit 100 multiplizierst). Danach ist auf die Potenzschreibweise überzugehen. Oder analog dazu kannst du das Bogenmaß des Winkels (wie lautet dieses für 45°?) nun in die e-Potenz einsetzen und dann das Ganze mit 100 potenzieren. mY+
15.01.2012, 00:32	Rosa Parks	Auf diesen Beitrag antworten »
lieber mYthos, vielen danke für seine hilfe bisher :-) das Bogenmaß zu 45° ist pi/4. ich weiß nicht genau was du mit e-Potenz meinst (tut mir leid) und die Beziehung von Moivre hab ich leider noch nicht gehört :-) aber dashier hab ich grad erarbeitet: $\begin{eqnarray} 1+i=2^{50}e^{iphi} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} ln(1+i)=ln(2^{50}e^{iphi}) = ln(2^{50})+ln(e^{iphi}) = 50ln(2) +iphi \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} ln(1+i)-50ln(2) =iphi \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} phi = ln(1+i)/i-50ln(2)/i \end{eqnarray}$ geht das auch (abgesehen davon dass es nicht schön ist)?
15.01.2012, 00:45	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Lasse das mit dem Logarithmus lieber. Erstens ist das falsch und auch so führt das zu nichts. Bleiben wir bei der e-Potenz. Fassen wir zusammen: z = 1 + i hat den Betrag $\begin{eqnarray} r = \sqrt 2 \end{eqnarray}$ und den Winkel $\begin{eqnarray} \varphi = 45^{\circ} \end{eqnarray}$ . Den Winkel musst du nun in das Bogenmaß bringen, denn sonst kannst du z nicht in die Exponentialschreibweise bringen. Diese lautet $\begin{eqnarray} z = r \cdot e^{i \varphi} \end{eqnarray}$ Hast du dies einmal, kannst du dieses doch leicht mit 100 potenzieren: $\begin{eqnarray} z^{100} = 2^{50} (e^{i \varphi})^{100} \end{eqnarray}$ Jetzt mache etwas daraus, indem du noch den Winkel (im Bogenmaß!) einsetzst und die Potenz ausführst. Der nun recht große Winkel ist zuletzt durch seinen Hauptwert (innerhalb der ersten 4 Quadranten) zu ersetzen. mY+
15.01.2012, 11:29	Rosa Parks	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z = \sqrt{2} e^{i \varphi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^{100} = 2^{50} (e^{i \varphi})^{100} = 2^{50} (e^{i(\pi /4)})^{100} = 2^{50} e^{i25\pi} = 2^{50}[cos(25\pi ) + isin(25\pi )] = 2^{50}[cos(\pi ) + isin(\pi )] = 2^{50}(-1+0) = -2^{50} \end{eqnarray}$ stimmt das?
15.01.2012, 21:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Jawohl, so geht das, sehr schön. mY+
16.01.2012, 00:18	Rosa Parks	Auf diesen Beitrag antworten »
dankeschön... ohhh da bin ich erleichtert

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