Stirling-Formel

14.01.2012, 14:47

MatheMäxchen

Stirling-Formel

Meine Frage:
Eine Klasse mit 2n Jungen und 2n Mädchen werde zufällig gleichverteilt in zwei gleich große Gruppen aufgeteilt. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Gruppen gleich viele Jungen wie Mädchen enthalten? Nehmen Sie an, dass n groß sei, und schätzen Sie diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Stirling Formel
n! ~ $\begin{eqnarray*} \sqrt{2*pi*n}*(\frac{n}{e}) ^{n} \end{eqnarray*}$ für n gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$
ab.

Meine Ideen:
Hallo ihr alle,

ich habe mir erstmal überlegt, dass ich eine hypergeometrische Verteilung habe H(n, 2n, 4n, 2n). wenn nun x meine variable ist, die die anzahl der jungen beschreibt, dann suche ich P(X=n), da ich insgesant 4n Kinder habe, diese Teile ich auf zwei Klassen auf, dadurch sind in jeder Klasse 2n Kinder und die Hälfte davon ist gleich n. Wenn ich nun die Formel für die Hypergeometrische Verteilung nehme, dann komm ich auf :
P(X=n) = $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 4n \\ 2n \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$
Das kann ich umschreiben (Binomialkoeffizient), sodass ich dann habe:
P(X=n) = $\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!^{4}}{n!^{4} * (4n)!} \end{eqnarray*}$
Darauf wende ich nun die gegebene Stirling-Formel an. Wenn ich das dann alles umforme und Potenzgesetze anwende, dann habe ich am Ende:
P(X=n) = $\begin{eqnarray*} \frac{4}{\sqrt{8*pi*n} } \end{eqnarray*}$

Ist dieses Ergebnis richtig? Wenn ja, dann interpretiere ich das so, dass ich für n gegen unendlich auf 0 komme. das ist doch aber definitiv falsch. interpretiere ich das ergebnis nur falsch oder ist das ergebnis an sich schon falsch?
ich hoffe ihr könnt mir helfen.

grüße
mathemäxchen

14.01.2012, 16:05

HAL 9000

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Das Ergebnis ist richtig, man könnte es auch noch so schreiben $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{\pi n}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MatheMäxchen
Wenn ja, dann interpretiere ich das so, dass ich für n gegen unendlich auf 0 komme. das ist doch aber definitiv falsch.

Wieso soll das falsch sein? Es stimmt.

Du darfst "ungefähr n" nicht mit "genau n" verwechseln, anscheinend machst du genaiu das gedanklich.

14.01.2012, 16:18

MatheMäxchen

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hallo HAL 9000,

danke für deine antwort.

das heißt die wahrscheinlichkeit genausoviele jungen wie mädchen zu haben ist für n gegen unendlich sehr klein (geht sogar gegen 0).
wenn ich für n 1 oder 2 einsetze, dann legt die wahrscheinlichkeit aber bei über 50%.

bei ungefähr gleich müsste ich aber auf 1 kommen (wenn ich das mit nem anderen verfahren mache)?

grüße
mathemäxchen

14.01.2012, 16:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheMäxchen
bei ungefähr gleich müsste ich aber auf 1 kommen

Das ist richtig: Betrachtet man z.B. das Ereignis

$\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ... der Anteil der Jungen unter den ausgewählten 2n Kindern liegt zwischen 49% und 51%

dann gilt sogar $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} P(A_n) = 1 \end{eqnarray*}$ . Siehe auch Zentraler Grenzwertsatz.

14.01.2012, 16:33

MatheMäxchen

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alles klar.

vielen dank für deine hilfe!

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