AWP in Umgebung

14.01.2012, 15:24

Shizorano

AWP in Umgebung

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Gegeben sei die Dgl $\begin{eqnarray*} y' = x\sqrt{1-y²} \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass die Gleichung mit der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(0) = y_0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |y_0| < 1 \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar ist, und bestimmen Sie die Lösung.
Gilt diese Aussage auch noch für $\begin{eqnarray*} y_0 = -1 \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Also ich wollte jetzt auf den ersten Blick mit Picard-Lindelöf Iteration ansetzen:
$\begin{eqnarray*} y_0(x) = y_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_1(x) = y_0 + \int_{0}^{x} t\sqrt{1-y_0 ²} ~dt \end{eqnarray*}$

Bin die Aufleitung grade am berechnen. Wäre nett, wenn mir eben bestätigt würde, dass der Ansatz richtig ist! Nicht, dass ich mir die Finger wund rechne für nichts und wieder nichts. =)

Danke schonmal im vorraus.
MFG
Shizorano

14.01.2012, 16:00

Gerald37

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RE: AWP in Umgebung
Was ist denn der Sinn hinter deinem Ansatz? Die Iteration liefert dir doch nur eine
Lösung, wenn du schon weißt, dass die Voraussetzungen erfüllt sind und ergo
eine Lösung existiert. Und keiner hat nach einer expliziten Lösung gefragt! Und außerdem bin ich mir hier nicht sicher, ob der Satz von Picard-Lindelöf gilt oder ob man hier auf den Peano zurückgreifen muss.

Hast du denn die beiden Sätze verstanden?

14.01.2012, 17:45

Shizorano

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RE: AWP in Umgebung
Den Satz von Peano hatten wir noch nicht...
Und zuegegebenr Maßen habe ich auch starke Verständnisschwierigkeiten, was Picard-Lindelöf angeht...

Wie muss ich denn dann vorgehen?

14.01.2012, 19:17

gonnabphd

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Hi,

Zeige, dass die Voraussetzungen von Picard-Lindelöf (lokale Version) gelten für $\begin{eqnarray*} |y_0|<1 \end{eqnarray*}$ , um die Eindeutigkeit zu belegen.

Die Picard-Iteration ist eigentlich nie geeignet, um eine DGL analytisch zu lösen (die braucht man nur für den Beweis von Picard-Lindelöf). Um die Lösung zu berechnen, beachte, dass diese DGL separabel ist!

smile

15.01.2012, 09:43

Shizorano

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Also... erstmal hier mein Satz von zur lokalen Existenz von Picard-Lindelöf, den wir in der Vorlesung bekommen haben, damit wir mit exakt den selben Vorraussetzungen arbeiten:

Betrachte das AWP $\begin{eqnarray*} y'=f(x,y) , y(x_0) = y_0 \end{eqnarray*}$ .
Dabei sei $\begin{eqnarray*} f \in C^0 (R, \mathbb R ^m), y_0 \in \mathbb R ^m \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} R := \{ (x,y) \in \mathbb R ^{m+1} : |x-x_0|<a, |y_i - y_{0,i}| < b_i (i = 1, ... , m)\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||f||_{C^0(R)} \leq M, ||f||_{C^0(R)} := max( sup( |f_i (x,y)| )) \end{eqnarray*}$
Ferner sei f lipschitzstetig bzgl y.
Sei $\begin{eqnarray*} h:= min (a,\frac{b_1}{M}, ... , \frac{b_m}{M}) \end{eqnarray*}$

Dann gibt es genau eine Lösung y des AWPs für $\begin{eqnarray*} x \in /[ x_0 -h , x_0 +h] \end{eqnarray*}$

Soweit , sogut!

Nun fange ich an diese Vorraussetzungen auf unseren konkreten Fall anzuweden:
$\begin{eqnarray*} y' = x\sqrt{1-y²}, m=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(0) = y_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |y_0| < 1, f \in C^0(R,\mathbb R), y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R = \{ (x,y) \in \mathbb R ² : |x| \leq a, |y - y_0 | \leq b \} \end{eqnarray*}$

Jetzt drängen sich bis jetzt mir hier 2 Fragen auf:
1. Darf ich $\begin{eqnarray*} |y-y_0| \leq |y| - |y_0| < |y| - 1\Rightarrow |y| < b+1 \end{eqnarray*}$ umformen? Wenn ja, macht das überhaupt Sinn?
2. Womit muss ich a und b hier identifizieren?

MFG
Shizorano

15.01.2012, 19:31

Shizorano

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Hey Leute.... Bump... Hilfe bitte

15.01.2012, 20:54

gonnabphd

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Erstmal solltest du überprüfen, für welche y deine Funktion Lipschtizstetig ist. Das ist eigentlich das wichtigste. Die Umgebung musst du gemäss Aufgabenstellung ja gar nicht konkret bestimmen. Sondern nur nachweisen, dass es eine solche Umgebung gibt für jedes y_0<1.

16.01.2012, 09:08

Shizorano

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Okay,

die Definition für die Lipschitzstetigkeit lautet ja:

$\begin{eqnarray*} |f_i (x,y) - f_i (x,Y)| \leq K * \sum\limits_{j=1}^m |Y_j - y_j | (i = 1, ... , m) \end{eqnarray*}$

Hier auf meine Situation lässt sich das je relativ stark vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} |f(x,y) - f(x,Y)| \leq K* |Y-y| \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich das einfach mal eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} |f(x,y) - f(x,Y)| = |x\sqrt{1-y²} - x\sqrt{1-Y²}| = |x|*|\sqrt{1-y²} - \sqrt{1-Y²}| \end{eqnarray*}$

Nur bin ich jetzt ein wenig überfragt, wie es weiter gehen soll...
Kann ich einfach sagen, dass K = |x| ist und wäre damit fertig?
Da habe ich allerdings iwie starke Zweifel dran, weil ich auch iwie noch nicht das $\begin{eqnarray*} |y_0| < 1 \end{eqnarray*}$ verarbeitet habe..
Wenn nicht, wie könnte ich dann weiter umformen, dass es Sinn ergibt..
Habe jetzt gestern und heute morgen jede Menge versucht, bin aber auf keinen sinnvolen Ansatz gekommen!

MFG

16.01.2012, 09:43

gonnabphd

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O.k., erstmal: Was du machst, geht schonmal in die richtige Richtung.

Zweitens: Wie ist das nochmal mit differenzierbaren Funktionen und Lipschitzstetigkeit? Gibt es da nicht so einen Satz, der uns eine Abschätzung der Art

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)|\le C|x-y| \end{eqnarray*}$

gibt? Mittelwwwww.....satz

Versuch's doch mal mit dem. Augenzwinkern

Da siehst du dann auch, weshalb $\begin{eqnarray*} |y_0|<1 \end{eqnarray*}$ benötigt wird.

16.01.2012, 13:16

Shizorano

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Zitat:

Original von gonnabphd
$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)|\le C|x-y| \end{eqnarray*}$

Ich hab mal den Mittelwwwww.....satz (=P) aus meinem Scriptrausgesucht und das besagt:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| = f_x(z)|x-y| \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun damit den Gedanken von vor 2 Posts weiter führe komme ich auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} |f(x,y) - f(x,Y)| = \sqrt{1-y²}* |y-Y| \end{eqnarray*}$

Setze nun: $\begin{eqnarray*} K := \max_{|y|<1} \sqrt{1-y²} \end{eqnarray*}$

Damit folgt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-y²}* |y-Y| \leq K*|y-Y| \end{eqnarray*}$

Womit dann insgesamt hoffentlich die lipschitz-stetigkeit folgt...

Dass da $\begin{eqnarray*} |y| = 1 \end{eqnarray*}$ nicht gelten darf, ergibt sich ja dann dadurch dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-y²}* |y-Y| = 0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} |y| > 1 \end{eqnarray*}$ darf auch nicht gelten, da wir uns im reellen bewegen und somit die Diskriminante nicht kleiner als 0 sein darf!

OK?! Sowei?! Was nun?

16.01.2012, 15:20

gonnabphd

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Es meint hier $\begin{eqnarray*} f_x(z) \end{eqnarray*}$ die Ableitung von f.

Auf dein Beispiel angewandt, willst du ja - zu fixem x - herausfinden, für welche y die Funktion $\begin{eqnarray*} y\mapsto f(x,y) = x\sqrt{1-y^2} \end{eqnarray*}$ Lipschitzstetig ist.

Mit dem Mittelwertsatz hast du

$\begin{eqnarray*} |f(x,y_1) - f(x,y_2)| \le \sup_{z \in [y_1, y_2]} \left| \frac{\partial f(x,z)}{\partial y}\right| |y_1 - y_2| \end{eqnarray*}$

Du musst also die partielle Ableitung nach y berechnen und schauen, wo du diese Benutzen kannst, um Lipschitzstetigkeit zu zeigen.

17.01.2012, 12:46

Shizorano

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Zitat:

Original von gonnabphd
Du musst also die partielle Ableitung nach y berechnen und schauen, wo du diese Benutzen kannst, um Lipschitzstetigkeit zu zeigen.

Also für die Ableitung gilt ja: $\begin{eqnarray*} f_y(x,y)= - \frac{xy}{ \sqrt{1-y²}} \end{eqnarray*}$

Dann müsste ja folgen:

$\begin{eqnarray*} |f(x,y_1) - f(x,y_2)| \le \sup_{z \in [y_1, y_2]} | - \frac{xz}{\sqrt{1-z²}} | |y_1 - y_2| = \sup_{z \in [y_1, y_2]} | \frac{xz}{\sqrt{1-z²}}| * | y_1 - y_2| \end{eqnarray*}$

Kann ich nicht nun sagen, dass die Diskriminante nicht negativ und der Nenner insgesamt nicht 0 sein darf, weshalb $\begin{eqnarray*} |z| < 1 \end{eqnarray*}$ gelten muss...

Dann müsste ich ja 'einfach' meine Lipschitzkonstante wie folgt definieren können:

$\begin{eqnarray*} L := \sup_{z \in [y_1, y_2]} | \frac{xz}{\sqrt{1-z²}}| \end{eqnarray*}$

Oder?

17.01.2012, 13:14

gonnabphd

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So in der Art, ja. Allerdings solltest du in deiner Lösung dann schon erklären, was du genau weshalb machen willst und was das dann überhaupt zeigt (z.B. über welchem Intervall du dieses Supremum nehmen willst etc). Aber ich denke, die Idee dürfte dir nun schon klar sein.

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