Potenz eines Dualraum Elements

14.01.2012, 15:42

Karamuto

Potenz eines Dualraum Elements

Erstmal sorry für den seltsamen Titel wusste nichts was irgendwie zu dieser Aufgabe passen könnte.

Sei $\begin{eqnarray*} V = R^2n, \omega = \sum\limits_{k=1}^n e^*_{2k-1}\wedge e^*_{2k} \end{eqnarray*}$

Bestimme $\begin{eqnarray*} c \in R \end{eqnarray*}$ so dass:

$\begin{eqnarray*} \omega^n = \omega \wedge ... \wedge \omega = c e^*_1 \wedge ... \wedge e^*_n \end{eqnarray*}$

Induktion schien mir in diesem Fall sinnlos.

Also habe ich zunächst mir einfach mal ein $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ hingeschrieben.

$\begin{eqnarray*} \omega = e^*_1 \wedge e^*_2 + ... + e^*_{2n-1} \wedge e^*_{2n} \end{eqnarray*}$

und dann dazu die erste potenz:

$\begin{eqnarray*} \omega^2 = (e^*_1 \wedge e^*_2 ) \wedge ( e^*_3 + e^*_4) + ... + (e^*_1 \wedge e^*_2 ) \wedge ( e^*_{2n-1} + e^*_{2n} )+ ... + ( e^*_{2n-1} + e^*_{2n}) \wedge (e^*_1 \wedge e^*_2 ) + ... + ( e^*_{2n-1} + e^*_{2n} ) \wedge ( e^*_{2n-3} + e^*_{2n-2} ) \end{eqnarray*}$

Da jedes Element aus der Summe von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ mit den anderen Elementen aus dieser Summe "ge-Dacht" wird, in beide Richtungen finde ich somit immer ein Paar:

$\begin{eqnarray*} (e^*_p \wedge e^*_{p+1}) \wedge (e^*_q \wedge e^*_{q+1}) + (e^*_q \wedge e^*_{q+1}) \wedge (e^*_p \wedge e^*_{p+1}) = 0 \end{eqnarray*}$

somit folgt: $\begin{eqnarray*} \omega^2 = 0 \end{eqnarray*}$
also auch : $\begin{eqnarray*} \omega^n = 0 \end{eqnarray*}$

also ist c beliebig?

irgendwie kann ich mir nicht vorstellen das das die lösung ist,
bitte um Hilfe.

14.01.2012, 15:49

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RE: Potenz eines Dualraum Elements
$\begin{eqnarray*} (e^*_p \wedge e^*_{p+1}) \wedge (e^*_q \wedge e^*_{q+1}) + (e^*_q \wedge e^*_{q+1}) \wedge (e^*_p \wedge e^*_{p+1}) = 0 \end{eqnarray*}$

Warum ist das Paar Null? Einsformen sind antisymmetrisch, aber für alles höhere muss man sich das nochmal genauer anschauen.

Gruß
MI

14.01.2012, 15:57

Karamuto

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da ist was dran xD

sind ja beides 2 formen, also ist es symmetrisch bzgl des dachprodukts dementsprechend also käse was ich eben geschrieben habe :O

vielleicht dennoch irgendwie einen Ansatz wie ich an die Aufgabe rangehen könnte?

14.01.2012, 16:58

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Naja, schau dir direkt $\begin{eqnarray*} \omega^n \end{eqnarray*}$ an. Du weißt ja, wie du multiplizierst, also weißt du auch, welche Terme in der Summe alle vorkommen. Dann kannst du dir zunächst mal klarmachen, was eigentlich überlebt (fast nichts) und was das für Terme sind.

Gruß
MI

15.01.2012, 14:14

Karamuto

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ahh ok es überleben natürlich nur die Teile wo immer unterschiedliche teile aneinander gedacht werden ^^

Da sich in diesem Fall das Dachprodukt symmetrisch bei vertauschungen verhält komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \omega^n = n e^*_1 \wedge ... \wedge e^*_{2n} \end{eqnarray*}$

das entspricht aber noch nicht so ganz dem was ich gerne hätte ich muss also noch irgendwas übersehen haben

15.01.2012, 15:20

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Zitat:

Original von Karamuto
ahh ok es überleben natürlich nur die Teile wo immer unterschiedliche teile aneinander gedacht werden ^^

Exakt. Das heißt auch, dass wir immer Paare der Form $\begin{eqnarray*} e_{2k-1}^* \wedge e_{2k}^* \end{eqnarray*}$ mit natürlichem $\begin{eqnarray*} k\in \{1,\ldots, n\} \end{eqnarray*}$ haben. Und davon gibt's natürlich alle möglichen Permutationen.

Das sollte dir eigentlich schon verraten, dass es vermutlich mehr gibt, als nur die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Stück, die du gefunden hast, sondern dass da eher die $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ins Spiel kommt, also ein Faktor n! wenn mich nicht alles täuscht.

Gruß
MI

15.01.2012, 15:25

Karamuto

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ahja klar hatte ich in diesem fall garnicht bedacht ^^

meine frage bezoge sich aber eig darauf das ja gefordert war das die form am ende auf:

$\begin{eqnarray*} c e^*_1 \wedge ... \wedge e^*_n \end{eqnarray*}$

hinauslaufen sollte und das hier geht ja nun bis 2n, vlt nur ein fehler in der aufgabenstellung? xD

15.01.2012, 18:08

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Ja, das würde ich behaupten - so wie es da steht kann es meiner Meinung nach nicht sein, d.h. der letzte Index sollte eigentlich 2n sein.

Gruß
MI

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