kern -> lineare Abbildung |
| 14.01.2012, 17:29 | nero08 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| kern -> lineare Abbildung Gesucht sind alle linearen Abbildungen f: R^5-R^2. kerf = span{(1,-1,0,1,-1)^t,(1,1,0,1,-1)^t,(1,-1,0,1,1)^t,(1,1,0,1,1)^t} Die Vohrgehensweise ist mir nicht ganz klar. Könnte ich zum Beispiel den span als Matrix schreiben wobei ich ihn splatenweise anschreibe also: 1 1 1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 -1 -1 1 1 und mit (x1,x2,x3,x4,x5) multiplizieren?? Ich sag schon mal danke! |
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| 15.01.2012, 09:47 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Kern von f ist ein 3-dimensionaler Untervektorraum von R^5. Ergänze seine Basis durch 2 Basisvektoren zu einer Basis des R^5. Diesen beiden Vektoren ordnet f beliebige, von 0 verschiedene, Vektoren in R^2 zu, womit die lineare Abbildung f eindeutig festgelegt ist. Das Bild von f ist dann ein 1- oder 2-dimensionaler Untervektorraum von R^2. Rechnerisch kann und soll man da nichts machen (ausser die Dimension des Kerns von f berechnen). Dies ist offensichtlich eine theoretische Aufgabe (gewesen). Wenn es dir Spaß macht, kannst du 2 Basisvektoren des R^5 berechnen, deren Bild von 0 verschieden ist. |
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| 15.01.2012, 11:49 | nero08 | Auf diesen Beitrag antworten » |
also habe mal die Basis ausgerechnet: 1 -1 0 1 -1 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 wobei bei mir v1,v2,v5 = 0, weil die Vektoren der basis des kerns v3 =(a,b) V4 =(c,d) (a,b) + (c,d) != 0 da sie ja dien R2 Aufspannen müssen und eben nicht der 0 Vektor sein dürfen ist das so korrekt? |
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| 15.01.2012, 12:07 | nero08 | Auf diesen Beitrag antworten » |
sorry muss mir selbst antworten: EDIT: ein kleiner Nachtrag. es gibt auch noch einen Punkt b) der sieht so aus: oder reicht es jetzt hier zu multip.? |
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| 15.01.2012, 13:12 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, du hast nur 4 Vektoren, die den Kern aufspannen, also kannst du nicht von v1,...,v5 sprechen. Nein, du darfst die 4 Vektoren, die den Kern aufspannen, nicht als Zeilenvektoren einer Abbildungsmatrix benutzen, deren Kern du berechnest. Beide Ansätze sind in diesem Zusammenhang sinnlos. Schreibt man die 4 Vektoren des Kerns in eine Matrix, so kann man deren Rang bestimmen. Der Rang der Matrix ist 3, das ist die Dimension des Kerns von f. Wie es weitergeht, habe ich schon heute vormittag geschrieben. |
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| 15.01.2012, 13:20 | nero08 | Auf diesen Beitrag antworten » |
jezt bin ich verwirrt [quote]Original von Elvis Der Kern von f ist ein 3-dimensionaler Untervektorraum von R^5. Ergänze seine Basis durch 2 Basisvektoren zu einer Basis des R^5. Diesen beiden Vektoren ordnet f beliebige, von 0 verschiedene, Vektoren in R^2 zu, womit die lineare Abbildung f eindeutig festgelegt ist. Das Bild von f ist dann ein 1- oder 2-dimensionaler Untervektorraum von R^2. quote] also muss ich die Vektoren spalteweise aufschreiben und sie dann ergänzen? aber wie es dann weitergeht ist mir noch immer nicht klar. wo anders hat man mir gesagt ich solls so machen wie ichs oben beschrieben habe. 
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| 15.01.2012, 13:28 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann hat man dir etwas Falsches gesagt. Die Aufgabe lautet, alle linearen Abbildungen mit gegebenem Kern zu bestimmen. Das habe ich für dich getan. Die Aufgabe lautet nicht, den Kern einer Abbildung zu bestimmen. Wie sollte das denn gehen, welche Abbildung denn ? Und wieso um alles in der Welt sollten die Vektoren die Abbildungsmatrix bilden ? Du darfst mir glauben, dass alles ganz einfach ist. Der Kern von f ist gegeben, und er hat die Dimension 3. Mit 2 weiteren linear unabhängigen Vektoren des R^5 erhält man eine Basis des R^5 (siehe Basisergänzungssatz). Der Kern wird per definitionem auf 0 abgebildet, die ergänzten Vektoren nicht, denn sonst wären sie ja im Kern. |
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| 15.01.2012, 13:34 | nero08 | Auf diesen Beitrag antworten » |
also ist jetzt das meine basis: 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 ich könnte mir das ganze dann so vorstellen 0 0 0 a b wobei a,b l.u. |
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| 15.01.2012, 14:59 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mir scheint, du weißt nicht, was du tust. Der Kern von f hat die Dimension 3, eine Basis muss also aus 3 linear unabhängigen Vektoren im R^5 bestehen. Der R^5 hat die Dimension 5, eine Basis muss also aus 5 linear unabhängigen Vektoren bestehen. Mit 4 Vektoren liegst du genau in der Mitte, das kann nur falsch sein. Und dann noch einer mit zwei Parametern a und b macht auch keinen Sinn. |
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