Periodizität von sin und cos

14.01.2007, 15:42

Milkaschokolade

Periodizität von sin und cos

Hallo,

wir haben in der Mathe-Vorlesung (versucht) die Periodizität von sin und cos nachzuweisen und folgendes dazu aufgeschrieben:

sin(x+2pi) = sin x

=>sin(x+2*k*pi)=sin x (k ist eine ganze Zahl)

Bis hierhin nachvollziehbar! Dann kommt:

Ebenso: cos(x+2*k*pi)= cos x

Ich bin der Meinung, dass müsste cos(x+2*k*pi)= cos x + 1 heißen,
da cos(2*k*pi)=1

Was stimmt denn nun??

14.01.2007, 15:55

el_studente

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ihr in der Vorlesung aufgeschrieben habt ist richtig.

14.01.2007, 15:56

sqrt4

Auf diesen Beitrag antworten »

du verwendest da einfach

$\begin{eqnarray*} cos(x+y)=cos(x)+cos(y) \end{eqnarray*}$

was nicht stimmt!!

Edit:

Ich meine du sagst

$\begin{eqnarray*} cos(x+2k\pi)=cos(x)+cos(2k\pi)=cos(x)+1 \end{eqnarray*}$

das is aber falsch

14.01.2007, 16:09

Milkaschokolade

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich wusste nicht, dass das nicht gilt.

Könnt ihr mir denn erklären wie man auf
sin(x+2kpi)=sin x und
cos(x+2kpi)=cos x kommt bzw. wie damit jetzt die Periodizität bewiesen ist?

Ich verstehe das gar nicht traurig

14.01.2007, 16:13

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt gesagt es gilt wenn man 2pi dazu nimmt.(keine Ahnung wie ihr das gemacht habt aber das ist hier als gegeben vorrausgesetzt).

Und dann wurde eine Art Induktion benutzt. Also wenn es einmal gilt, dann kann man ja z.b. umformen:
sin(x + 4pi) = sin((x+2pi)+2pi) = sin (x + 2pi) = sin (x)
usw.
Und analog für den Cosinus

14.01.2007, 16:17

Milkaschokolade

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kiste
sin((x+2pi)+2pi) = sin (x + 2pi) = sin (x)

Warum ist das alles gleich???

14.01.2007, 17:58

sqrt4

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Induktion is nicht schlecht ja...

Also:

wir wollen zeigen ,dass gilt:

$\begin{eqnarray*} sin(\alpha+k(2\pi))=sin(\alpha) \end{eqnarray*}$

Dazu benutzt man aus der Formelssammlung:

$\begin{eqnarray*} sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \beta=2\pi \end{eqnarray*}$ solltest du die Induktion auf die Reihe kriegen.

Ebenso gehts sicher auch beim cos...

Edit:

weiß nicht is wohl leicht umständlich Hammer

14.01.2007, 18:15

sqrt4

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Milkaschokolade

Zitat:

Original von kiste
sin((x+2pi)+2pi) = sin (x + 2pi) = sin (x)

Warum ist das alles gleich???

oh du scheinst doch größere Probleme damit zu haben.

also zu beweisen: $\begin{eqnarray*} sin(\alpha+k(2\pi))=sin(\alpha) \end{eqnarray*}$

dazu benutze ich das Additionstherom von oben.

k=1
$\begin{eqnarray*} sin(\alpha+k(2\pi))=sin(\alpha)cos(2\pi)+cos(\alpha)sin(2\pi)=sin(<br /> \alpha) \end{eqnarray*}$

Dabei habe ich jediglich benutzt, dass $\begin{eqnarray*} cos(2\pi)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin(2\pi)=0 \end{eqnarray*}$

dann gilt also die Formel für ein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
Dann setzt man an:
$\begin{eqnarray*} sin(\alpha+(k+1)(2\pi))=sin((alpha+2\pi)+k(2\pi))= \end{eqnarray*}$
Nach der IV ist das aber
$\begin{eqnarray*} =sin(\alpha+2\pi)=sin(\alpha) \end{eqnarray*}$

14.01.2007, 19:32

Milkaschokolade

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke ich habe es verstanden....

Mein Professor hätte auch mal die Additionstheoreme anschreiben können... aber wozu denn? Ist doch alles trivial...

Danke für eure Hilfe!!

Neue Frage »

Antworten »

Periodizität von sin und cos

Verwandte Themen