Abltg. holomorpher Fkt. auf Einheitskreisscheibe genügt Ungl.

14.01.2012, 22:15	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Abltg. holomorpher Fkt. auf Einheitskreisscheibe genügt Ungl. Hallo zusammen, Ich bin auf eine Aufgabe gestossen und habe eine Lösung entwickelt zu der ich mir Kritik wünschen würde. $\begin{eqnarray} \text{Sei } f:\mathbb{D}:=\left\{ z\|\ \|z\|<1\right\}\to \mathbb{D}\text{ holomorph. Zeige, dass, }\|f'(z)\|\leq \frac{1}{1-\|z\|}\text{ auf } \mathbb D\text{.} \end{eqnarray}$ http://www.mi.uni-koeln.de/~erat/sose09/ss09ueb06.pdf Aufgabe 2.b) Ich habe mir gedacht, dass es mit Cauchy-Integralformel funktionieren könnte. Also seien $\begin{eqnarray} z\in\mathbb D \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0<\alpha<1 \end{eqnarray}$ beliebig. Dann ist $\begin{eqnarray} \partial B_{\alpha(1-\|z\|)}(z)\subseteq\mathbb D \end{eqnarray}$ , wobei mit B_r(z) die offene Kreisscheibe mit Radius r um z bezeichnet sei. Dann folgt: $\begin{eqnarray} \|f'(z)\|=\left\|\int\limits_{B_{\alpha(1-\|z\|)}(z)}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\mathrm{d}\zeta\right\|\leq \frac{\sup\{\|f(\zeta\|)\|\ \|\ \zeta\in \partial B_{\alpha(1-\|z\|)}(z)\}}{\alpha(1-\|z\|)}\leq \frac{1}{\alpha(1-\|z\|)} \end{eqnarray}$ Und mit $\begin{eqnarray} \lim_{\alpha\nearrow 1} \end{eqnarray}$ die Behauptung, da z beliebig war. Bin dankbar über Hinweise auf Fehler oder alternative Vorschläge zur Lösung!
15.01.2012, 00:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlt natürlich noch der Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi i} \end{eqnarray}$ vor dem Integal. Der sorgt dann auch dafür, dass die Abschätzung überhaupt richtig ist, denn da kommt ja noch mal der Faktor $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ durch die Länge des Integrationsweges rein.
15.01.2012, 00:54	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, den habe ich glatt unterschlagen!
15.01.2012, 04:46	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Lösung ist trotzdem nicht ganz korrekt. Wenn du die Kreisscheibe vom Radius $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ um z betrachtest, dann ist der maximale Radius, zu welchem $\begin{eqnarray} B_\alpha(z) \subset \mathbb E \end{eqnarray}$ gilt, $\begin{eqnarray} \alpha_{max} = 1-\|z\| \end{eqnarray}$ ! Siehst du, wie man diesen Fehler beheben könnte?
15.01.2012, 12:34	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss zugeben, dass ich es nicht sehe. Ich betrachte die Kreisscheibe mit Radius $\begin{eqnarray} \alpha\cdot(1-\|z\|) \end{eqnarray}$ und mit deiner Bezeichnung ist $\begin{eqnarray} \alpha_{max}=1 \end{eqnarray}$ ?
15.01.2012, 14:04	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss auch zugeben, dass ich keinen Fehler sehe $\begin{eqnarray} \partial B_{\alpha(1-\|z\|)}(z) \subset \mathbb D \end{eqnarray}$ gilt für $\begin{eqnarray} 0 <\alpha < 1 \end{eqnarray}$ , d.h. man kann das Integral in der Tat so bilden und an der Abschätzung ist dann auch nichts falsch.
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15.01.2012, 21:01	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Oops, ich nehme alles zurück. Ich hatte nicht genau gelesen! Tschuldige.
15.01.2012, 21:02	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann mal Danke an euch beide, dass ihr drüber geschaut habt!

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