Dimension und Basis eines Untervektorraums

15.01.2012, 02:17

gummiwipfel

Dimension und Basis eines Untervektorraums

Huhu, mal wieder eine Frage.
Eine Übungsaufgabe Lautet:

"Es bezeichne $\begin{eqnarray*} P_3 \end{eqnarray*}$ den Vektorraum aller Polynome vom Grad höchstens 3.
$\begin{eqnarray*} U = \left\{ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 \in P_3 | p(1) = 0, a_2 = 0 \right\} \end{eqnarray*}$ "
Man muss nun bestimmen, ob U ein Untervektorraum ist und die Basis angeben, falls es einer ist. In der Lösung wird es mit Dim(U) = 2 und als Basen $\begin{eqnarray*} p_1(x) = 1 -x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2(x) = 1 - x^3 \end{eqnarray*}$ angegeben.
Meine Frage nun lautet: wie geht man überhaupt an so eine Aufgabe ran? Mit viel zeit könnte ich zeigen, dass U ein Untervektorraum ist (also das 0-Element liegt drin und auch die Summe von zwei Vektoren daraus), die größte Frage die sich mir stellt ist aber, wie man die Basen ohne rechnung angeben kann, denn für Rechnung wurde kein Platz gelassen.
Ein anderes Beispiel für so eine Aufgabe ist:
$\begin{eqnarray*} U = \left\{ A \in \mathbb R ^{3x3} | a_{ii} = 0\ und\ a_{ij} = a_{ji}, i,j = 1,2,3 \right\} \end{eqnarray*}$
Die Basen hierfür sollen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein, aber auch hier verstehe ich überhaupt nicht wie man da drauf einfach so schließen soll?

Danke schonmal im voraus!

15.01.2012, 02:51

Mulder

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RE: Dimension und Basis eines Untervektorraums
Auf der Suche nach Basen sollte man immer erst mal die Bedingungen nutzen, die an den Unterraum gestellt werden. Die kann man erstmal einsetzen. Das hast du jetzt noch überhaupt nicht gemacht. a2 soll ja 0 sein, also hat ein Polynom in U schon mal "nur noch" die Form

$\begin{eqnarray*} p(x) = a_0+a_1x+a_3x^3 \end{eqnarray*}$

Ferner soll $\begin{eqnarray*} p(1)=0 \end{eqnarray*}$ sein, das bedeutet $\begin{eqnarray*} a_0=-a_1-a_3 \end{eqnarray*}$ . Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} p(x) = -a_1-a_3+a_1x+a_3x^3 \end{eqnarray*}$

Nach und nach kann man so die Parameter eliminieren und dann mal schauen, was übrig bleibt. Jetzt ist Hingucken angesagt, umsortieren usw...

Übrigens sind diese p1 und p2 aus der Lösung keine "Basen", sondern p1 und p2 bilden zusammen eine Basis von U.

Und die Matrizen: Auch einfach mal hinschreiben und gucken! Von nix kommt nix.

15.01.2012, 18:20

gummiwipfel

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Vielen dank schonmal, das mit dem Polynomraum hat mich auf alle Fälle schonmal sehr weitergebracht!
Dass p1 und p2 zusammen nur eine Basis bilden ist mir klar, hab mich wohl gestern nur schlecht ausgedrückt, weil mit einem von denen Vektoren alleine kann man nicht alle anderen zusammenbasteln smile

Bei dem mit den Matrizen komme ich im endeffekt darauf, dass mit dem $\begin{eqnarray*} a_{ii} \end{eqnarray*}$ gemeint ist, dass die Diagonale eben aus 0en bestehen muss und ansonsten die Matrix symmetrisch ist (eben wegen dem $\begin{eqnarray*} a_{ij} = a_{ji} \end{eqnarray*}$ , richtig?
Eigentlich ist das ganze ja doch garnicht soo schwer..

15.01.2012, 18:36

Mulder

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Zitat:

Original von gummiwipfel
Bei dem mit den Matrizen komme ich im endeffekt darauf, dass mit dem $\begin{eqnarray*} a_{ii} \end{eqnarray*}$ gemeint ist, dass die Diagonale eben aus 0en bestehen muss und ansonsten die Matrix symmetrisch ist (eben wegen dem $\begin{eqnarray*} a_{ij} = a_{ji} \end{eqnarray*}$ , richtig?

Genau.

17.01.2012, 21:39

gummiwipfel

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Ich bin nun beim Üben weitergekommen und aber auf eine Aufgabe gestoßen, bei der ich ein ein klein wenig anderes Ergebnis hätte:
$\begin{eqnarray*} U = \left\{ A \in \mathbb R ^{3x3} | a_{11}+a_{22}+a_{33} = 0\right\} \end{eqnarray*}$
Davon soll nun eine Basis gefunden werden und dessen Dimension angegeben werden. In der Lösung kommen folgende 8 Vektoren vor (und deswegen lautet dort auch dim(U) = 8):
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und für die Diagonale noch die zwei: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Soweit konnte ich die Lösung auch noch bestimmen, jedoch hätte ich noch die folgende Matrix mir gedacht als einen Teil der Basis:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Wieso gehört diese denn nun nicht zur Basis? Das will mir irgendwie nicht ganz einleuchten.

17.01.2012, 21:46

Mulder

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Weil du diese Matrix auch schon durch die letzten beiden von den obigen acht Matrizen ausdrücken kannst:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also geht dir die lineare Unabhängigkeit flöten und für ein Erzeugendensystem ist diese Matrix überflüssig.

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