Diffeomorphismus, Injektivität

15.01.2012, 09:32	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Diffeomorphismus, Injektivität Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f: U \rightarrow \mathbb R^{3}: \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} r\cdot cos(s)\cdot cos(t) \\ r\cdot sin(s)\cdot cos(t) \\ r\cdot sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} U=(0,\infty )\times (0,2\pi )\times (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} ) \end{eqnarray}$ Ich habe bereits gezeigt dass es ein lokaler Diffeomorphismus ist, mir fehlt also noch die Injektivität. Wie zeige ich die hier am besten? Es hängt natürlich von der Menge $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ab, diese verhindert eben die 'periodischen Gleichheiten' der Funktionswerte. Wäre über einen Tipp dankbar :-) Edit: Guten Morgen übrigens
15.01.2012, 11:11	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mal $\begin{eqnarray} \\| U \\| \end{eqnarray}$ berechnest, wird schnell klar, dass du für den Beweis der Injektivität r festhalten kannst (o.B.d.A auf 1 setzen kannst) und dann die Injektivität bzgl. s und t zeigst. Da guckst dir dann einfach mal die 3te Komponente an.
15.01.2012, 11:42	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn mit $\begin{eqnarray} \|\|U\|\| \end{eqnarray}$ gemeint? Sowas wie $\begin{eqnarray} \|\|U\|\| = \left\{ \|\| \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} \|\| : r \in (0,\infty ), s \in (0,2\pi), t \in (-\pi/ 2,\pi/ 2)\right\} \end{eqnarray}$ ?
15.01.2012, 11:56	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, ich habe gedacht, die Funktion heiße U. Ich meinte eigentlich $\begin{eqnarray} \\| f \\| \end{eqnarray}$ Also mit $\begin{eqnarray} \\| f\\| \end{eqnarray}$ meine ich $\begin{eqnarray} \\|f(r,s,t) \\| \end{eqnarray}$ , die Argumente lässt man dann manchmal weg...
15.01.2012, 13:05	Roonex	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich habs jetzt wohl, wie du sagtest. r kann man aus der Norm rausziehen, man erhält aus der 3 Komponente die Injektivität für t und dann die für s aus den ersten beiden Komponenten. Dankeschön!

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