eine Funktion ist nicht Riemanns-Intergriebar

15.01.2012, 13:22

ganzruhig

eine Funktion ist nicht Riemanns-Intergriebar

Guten Tag

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/karin.h...na1_Blatt11.pdf

Aufgabe Nr.1 b)
Ich werde erst mal gebeten eine Ableitung der präsentierten Funktion zu machen, das geht problemlos und dann muss diese intergrieren, die ableitung also. Eigentlich soll ich einfach die ausgangsfunktions nehmen und werte berechnen, und das wäre dann der intergrall von F' . Die aufgabe will von mir aber, dass ich zeige dass sie nicht intergrierbar ist.

Ich habe nach Riemannsintergriebarkeits kriterien gesucht und fand heraus, dass es geht wenn die FUnktion stetig und beschränkt ist. Daraus folgt ich soll entweder zeigen dass die funktion nicht stetig ist oder nicht beschränkt. Sie ich aber durch den interwahl beschränkt, also muss ich zeigen dass sie wohl unstetig ist.

Paar fragen im Voraus:

Angenommen ich habe nur eine f(x)=sin(1/x) stimmen folgende aussagen?

sin(1/x) ist stetig AUF IHREM DEFINITIONSBREICH, nämlich dem R/{0}
sin(1/x) ist nicht stetig auf ganz R, nämlich nicht in 0
und sie ist nicht zu stetigen funktion ergänzbar

xsin(1/x) ist stetig auf ihrem definitionsbereich (gehört 0 dies mal zum definitionsbereich? imo nicht)
xsin(1/x) ist nicht stetig in 0
diese funktion ist aber stetig ergänzbar durch f(0)=0 (als zusammengesetzte Funktion)

Ich würde gerne erst mal mit fragen starten und dann mit der aufgabe anfangen, vielen Dank!

15.01.2012, 14:49

Karamuto

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wäre zurnächst erstmal super wenn du uns deine grunddefinition für riemann integrierbarkeit zeigst, das machen nämlich irgendwie alle unis anders

bei mir z.B. war etwas riemann integrierbar wenn es sich mit treppenfkt approximieren lies

15.01.2012, 14:57

tmo

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Es ist eigentlich recht egal, wie das definiert ist, denn auf jeden Fall ist die Beschränktheit einer Funktion Grundvorraussetzung für Riemann-Integrierbarkeit.

Deine Frage hast du übrigens schon selbst richtig beantwortet smile

15.01.2012, 15:02

Karamuto

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aber nur im berreich des gegebenen intervalls...

f(x) = x ist auch nicht beschränkt aber auf einem abgeschlossenem intervall dennoch riemann integrierbar

es wird sich hier doch eher um stetigkeit drehen :O

15.01.2012, 15:09

ganzruhig

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klar gehts um stetigkeit, und ich weiß sogar vermutlich warum die nicht intergrierbar ist, es liegt an dieser sin(1/x), sie hat für x -> 0 eine Oszilationsstelle und jumped beliebig oft zwischen 1 und -1 sowie ich nach langem lesen und googlen verstanden habe. Deswegen will ich mich ausdrücklicher mit dieser funktion befassen! Also noch mal:

Angenommen ich habe nur eine f(x)=sin(1/x) stimmen folgende aussagen?

sin(1/x) ist stetig AUF IHREM DEFINITIONSBREICH, nämlich dem R/{0}
sin(1/x) ist nicht stetig auf ganz R, nämlich nicht in 0
und sie ist nicht zu stetigen funktion ergänzbar

xsin(1/x) ist stetig auf ihrem definitionsbereich (gehört 0 dies mal zum definitionsbereich? imo nicht)
xsin(1/x) ist nicht stetig in 0
diese funktion ist aber stetig ergänzbar durch f(0)=0 (als zusammengesetzte Funktion)

15.01.2012, 15:11

tmo

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Ich habe doch schon gesagt, dass du das so richtig beschrieben hast.

Und natürlich ist $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ insbesondere auch nicht stetig (eine Funktion die auf einem kompakten Intervall unbeschränkt ist, ist natürlich auch nicht stetig), aber es gibt auch unstetige integrierbare Funktionen.

Das Entscheidende ist jedoch, dass $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ auf jedem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [0,b] \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist, egal wie klein b wird.

15.01.2012, 15:13

ganzruhig

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Zitat:

Original von tmo
Ich habe doch schon gesagt, dass du das so richtig beschrieben hast.

Und natürlich ist $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ insbesondere auch nicht stetig (eine Funktion die auf einem kompakten Intervall unbeschränkt ist, ist natürlich auch nicht stetig), aber es gibt auch unstetige integrierbare Funktionen.

Das Entscheidende ist jedoch, dass $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ auf jedem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [0,b] \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist, egal wie klein b wird.

oO kannst du bitte erklären warum sie nicht beschränkt ist?

EDIT: habe nochmal über intergriebarkeit nachgelesen, sie muss nicht stetig sein, man kann auch eine fkt intergrieren die nicht stetig ist, sie MUSS dann aber monoton sein, ich hoffe ich habe es jetzt richtig verstanden, aber mit der beschränktheit... gibts keine obere bwz untere schranke?? wenn x element [0,b] b>0 ist, und wir grade mal die linke seite des intervalls betrachten.. verstehe ich nicht wie beim x->0 unsere ausgangsfunktion einen wert KLEINER als -1 einnehmen könnte => sie ist schon unten beschränkt oder?

15.01.2012, 15:40

tmo

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Es doch um die Funktion F', also die Ableitung von F.

F selbst ist natürlich auf [0,b] beschränkt, stetig, ja sogar diffbar. Und damit natürlich auch integrierbar.

Aber F' eben nicht.

Und zu der Theorie über Riemann-Integrierbarkeit. Das stimmt so nicht alles. Man kann z.b. über jede beschränkte Funktion integrieren, die nur endlich viele Unstetigkeitsstellen hat. Egal ob die monoton oder nicht ist.

15.01.2012, 16:02

ganzruhig

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Zitat:

Original von tmo
Es doch um die Funktion F', also die Ableitung von F.

F selbst ist natürlich auf [0,b] beschränkt, stetig, ja sogar diffbar. Und damit natürlich auch integrierbar.

Aber F' eben nicht.

Und zu der Theorie über Riemann-Integrierbarkeit. Das stimmt so nicht alles. Man kann z.b. über jede beschränkte Funktion integrieren, die nur endlich viele Unstetigkeitsstellen hat. Egal ob die monoton oder nicht ist.

ich fasse alles zusammen, und BITTE tmo beantworte jede meine kleine verdeutlichungsfrage (ich symbolisiere sie mit "stimmt das?"), weil ich werde nur verwirter je länger ich drumherum lese..
F ist selbst auf [0,b] beschränkt, weil es das eben ein [F(0), F(b)] intervall existiert => es gibt sup und inf , stimmt das?
F ist stetig, NUR WEGEN diesem x in der funktion, der allein hilft sin(1/x) den links- und rechtsseitigen grenzwert gegen 0 laufen zu lassen, DESWEGEN ist sin(1/x) allein als funktion NICHT stetig behebbar, stimmt das?
F ist diffbar, weil sie stetig ist und der grenzwert für x->x_0 , nämlich dieser (F(x)-F(x_0))/(x-x_0) existiert, stimmt das?
F ist intergriebar, weil sie beschränkt ist (und stetig? man braucht es aber wie du schon erklärt hast nicht), stimmt das?

SO, wenn das alles bisher stimmt bin ich sehr froh

NUN zurück zu F'

Ich habe gedacht sie ist beschränkt, aber du sagst die ganze zeit es wäre nicht so, und ich weiß wirklich nicht warum, gib mir bitte einen tip!
Ist F' stetig? Wenn Ausgangsfunktion stetig war, ist dann die ableitung stetig (ich glaube ja und zwar immer, außer wohl wenn eine funktion zusammen gesetzt ist)?

vielen Dank dir für die mühe

15.01.2012, 16:24

tmo

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Die Aussagen stimmen alle, aber die Begründungen stimmen nur zum Teil.

F ist für x > 0 diffbar, weil F aus diffbaren Funktionen zusammengesetzt ist.
F ist in x = 0 diffbar, weil dort (das hast du richtig gesagt) der Grenzwert Differenzenquotient existiert.

So und dann hat man eine Funktion die für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ diffbar ist.
Damit ergibt sich sofort die Stetigkeit auf jedem Intervall [0,b], damit ergibt sich sofort die Beschränktheit auf [0,b] und auch die Integrierbarkeit auf [0,b].

Und ja für die Stetigkeit (und Diffbarkeit) in 0 ist der Faktor $\begin{eqnarray*} x\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ verantwortlich.

Bevor wir über F' diskutieren, solltest du F' erstmal angeben.

15.01.2012, 16:43

ganzruhig

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Zitat:

Original von tmo
So und dann hat man eine Funktion die für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ diffbar ist.
Damit ergibt sich sofort die Stetigkeit auf jedem Intervall [0,b], damit ergibt sich sofort die Beschränktheit auf [0,b] und auch die Integrierbarkeit auf [0,b].

Vllt liegts an formulierung, aber ich habe das jetzt so verstanden:
diffbar => stetig (sicher, keine widerrede) => beschränkt (eigentlich logisch, nur warte, kann ich rückschluss ziehen? Wie: beschränkt => stetig, ich wette nicht, und gibt es nicht eine UNSTETIGE fkt die beschränkt ist? Klar. Deswegen.. darf man wirklich so über beschränktheit argumentieren?)

F'(x) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}\sin(1/x) + \frac{x}{2\sqrt{x} }\sin(1/x) - \frac{\sqrt{x}}{x} \cos(1/x) \end{eqnarray*}$ , x>0
F'(0) = 0

15.01.2012, 19:44

ganzruhig

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kann sonst jemand helfen? Ich glaube nicht dass tmo heute noch zurück schreibt .-(

16.01.2012, 11:37

ganzruhig

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Problem besteht immer noch, bitte um Hilfe

17.01.2012, 13:12

ganzruhig

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up, hoffe tmo hat mich nicht vergessen .-)

Da ich aber so viel zeit zum Überlegen hatte, habe ich kleine vermutung:

Es ist wegen x/wurzelx bei -cos(x) , x/wurzel(x) = 1/wurzel(x) und für x -> 0 geht der bruch gegen unendlich + und deswegen ist diese ganze summe von produkten nicht mehr beschränkt.. könnte hin hauen?

17.01.2012, 15:00

juffo-wup

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Zitat:

Original von ganzruhig
Vllt liegts an formulierung, aber ich habe das jetzt so verstanden:
diffbar => stetig (sicher, keine widerrede) => beschränkt (eigentlich logisch, nur warte, kann ich rückschluss ziehen? Wie: beschränkt => stetig, ich wette nicht, und gibt es nicht eine UNSTETIGE fkt die beschränkt ist? Klar. Deswegen.. darf man wirklich so über beschränktheit argumentieren?)

Die Argumentation ist einfach: Wenn die Funktion integrierbar ist, dann ist sie auch beschränkt. Das wird bei der Riemann-Integrierbarkeit normalerweise in der Definition vorausgesetzt. Wenn also F' nicht beschränkt ist auf [0,b] (nämlich nahe 0 nicht beschränkt ist wie du richtig vermutest), dann kann man auch kein Riemann-Integral von F' sinnvoll erklären auf [0,b]. (All das mit Treppenfunktionen, die größer oder kleiner als F' sind bzw. mit Ober- und Untersummen funktioniert dann ja nicht mehr.)

Zitat:

Es ist wegen x/wurzelx bei -cos(x) , 1/wurzel(x) und für x -> 0 geht der bruch gegen unendlich + und deswegen ist diese ganze summe von produkten nicht mehr beschränkt.. könnte hin hauen?

Und das (zusammen mit der Feststellung, dass die anderen beiden Summanden gegen 0 gehen, also nicht noch Beschränktheit bewirken können) ist die richtige Begründung der Nicht-Beschränktheit. Freude

edit: Für einen formal 100% einwandfreien Beweis solltest du vielleicht noch eine konkrete Folge $\begin{eqnarray*} x_k\downarrow 0 \end{eqnarray*}$ angeben mit $\begin{eqnarray*} |F'(x_k)|\to \infty \end{eqnarray*}$ - betrachte z.B. $\begin{eqnarray*} x_k=\frac{2}{(2k+1)\pi} \end{eqnarray*}$

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