Kovarianz vom Produkt zweier Zufallsvariablen

15.01.2012, 14:23	Martina1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovarianz vom Produkt zweier Zufallsvariablen Meine Frage: Hallo, ich habe eine Aufgabe bei der ich denke nah an der Lösung zu sein mir fehlt aber noch ein kleiner Schritt der mir nicht ganz klar wird. Gegeben sind 2 unabhängige gleichverteilte ZV X,Y. gesucht ist $\begin{eqnarray} cov(XY,Y) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich setzte zunächst alles in die Definition der Kovarianz ein: $\begin{eqnarray} <br /> cov(XY,Y) = E(XY Y)-E(XY)E(Y)<br /> \end{eqnarray}$ Da X,Y unabhängig ergibt sich, glaube ich, $\begin{eqnarray} E(XY) = E(X)E(Y) \end{eqnarray}$ . Und damit: $\begin{eqnarray} <br /> cov(XY,Y) = E(XY Y)-E(X)E(Y)^2<br /> \end{eqnarray}$ Schwieriger wirds bei E(XY Y). Als Tip hat man uns gesagt wir sollen den Transformationssatz für Erwartungswerte benutzen. Wenn ich den richtig verstehe, komme ich damit auf (für Z=XY): $\begin{eqnarray} <br /> E(Z Y) = \int \int \! zyf_{z,y}(z,y) \, dz dy<br /> \end{eqnarray}$ Allerdings weiß ich hier nicht wie auf die Dichte $\begin{eqnarray} f_{z,y}(z,y) \end{eqnarray*}$ kommt. Hat da jemand einen Tip für mich?
16.01.2012, 06:53	Martina1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ist manchmal schlimm, wenn man die offensichtlichen Dinge nicht erkennt. Mein Ansatz war an der falschen Stelle. Wenn man $\begin{eqnarray} E(XYY) \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} E(XY^2) \end{eqnarray}$ betrachtet, dann sind X und Y^2 unabhängig und damit $\begin{eqnarray} E(XY^2) = E(X)E(Y^2)=1/2 * E(g(Y)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(t) = t^2 \end{eqnarray}$ . Hier kann man jetzt den Transformationssatz für Erwartungswerte anwenden mit $\begin{eqnarray} E(Y^2)=\int_0^1 \! y^2 * f_Y(y) \, dy \end{eqnarray}$ . Das Integral läuft im Intervall von (0,1) da nur dort die Dichtefkt genau 1 ist, sonst 0. Und damit kommt man auf $\begin{eqnarray} E(Y^2)=\int_0^1 \! y^2 * f_Y(y) \, dy = 1/3 * 1^3 - 1/3 * 0^3 = 1/3 \end{eqnarray}$ Und somit: $\begin{eqnarray} cov(XY, Y) = E(X) E(Y^2) - E(X)E(Y^2) = 1/2 1/3 - 1/2 * (1/2)^2 = 1/6 - 1/8 = 1/24 \end{eqnarray*}$ Manchmal reicht es schon aus hier sein Problem zu posten um auf neue Ideen zu kommen .

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